Si dica se esiste il seguente endomorfismo

[Legico]

L'esercizio dice quanto segue:
In $RR^4$ si considerino i due sottospazi vettoriali: $U=<(2,-1,0,1),(1,-1,1,1)> e W=<(1,0,-1,1),(2,-2,2,1)>$ si dica se esiste un endomorfismo di $RR^4$ che ha U come nucleo e W come immagine.
Ne esiste uno solo? In caso constrario se ne determinino due distinti precisando, per ognuno, i corrispondenti vettori della base canonica.

Ecco il mio svolgimento:
mettendo in forma di matrice i sottospazi U e W e riducendo a scala, risultano 3 vettori linearmente indipendenti (quindi $dim(Im)=3$ e $dim(N)=1$). Ora ho provato a vedere se la combinazione lineare di W e U genera rispettivamente i vettori dell'immagine e del nucleo. In conclusione mi risulta che non esiste un endomorfismo che rispetta le condizioni.
Il problema è che non sono molto convinto del mio procedimento.. , quindi chiedo a chiunque abbia capito la domanda di questo esercizio, se per cortesia può illuminarmi.
Grazie in anticipo.
P.S.: ci ho riflettuto meglio e lo svolgimento scritto sopra non ha senso affatto! quindi sono al punto di partenza!

[maurer]

Felice di esserti stato d'aiuto...