Si dica se esiste il seguente endomorfismo
L'esercizio dice quanto segue:
In $RR^4$ si considerino i due sottospazi vettoriali: $U=<(2,-1,0,1),(1,-1,1,1)> e W=<(1,0,-1,1),(2,-2,2,1)>$ si dica se esiste un endomorfismo di $RR^4$ che ha U come nucleo e W come immagine.
Ne esiste uno solo? In caso constrario se ne determinino due distinti precisando, per ognuno, i corrispondenti vettori della base canonica.
Ecco il mio svolgimento:
mettendo in forma di matrice i sottospazi U e W e riducendo a scala, risultano 3 vettori linearmente indipendenti (quindi $dim(Im)=3$ e $dim(N)=1$). Ora ho provato a vedere se la combinazione lineare di W e U genera rispettivamente i vettori dell'immagine e del nucleo. In conclusione mi risulta che non esiste un endomorfismo che rispetta le condizioni.
Il problema è che non sono molto convinto del mio procedimento..
, quindi chiedo a chiunque abbia capito la domanda di questo esercizio, se per cortesia può illuminarmi.
Grazie in anticipo.
P.S.: ci ho riflettuto meglio e lo svolgimento scritto sopra non ha senso affatto! quindi sono al punto di partenza!
In $RR^4$ si considerino i due sottospazi vettoriali: $U=<(2,-1,0,1),(1,-1,1,1)> e W=<(1,0,-1,1),(2,-2,2,1)>$ si dica se esiste un endomorfismo di $RR^4$ che ha U come nucleo e W come immagine.
Ne esiste uno solo? In caso constrario se ne determinino due distinti precisando, per ognuno, i corrispondenti vettori della base canonica.
Ecco il mio svolgimento:
mettendo in forma di matrice i sottospazi U e W e riducendo a scala, risultano 3 vettori linearmente indipendenti (quindi $dim(Im)=3$ e $dim(N)=1$). Ora ho provato a vedere se la combinazione lineare di W e U genera rispettivamente i vettori dell'immagine e del nucleo. In conclusione mi risulta che non esiste un endomorfismo che rispetta le condizioni.
Il problema è che non sono molto convinto del mio procedimento..
, quindi chiedo a chiunque abbia capito la domanda di questo esercizio, se per cortesia può illuminarmi.Grazie in anticipo.
P.S.: ci ho riflettuto meglio e lo svolgimento scritto sopra non ha senso affatto! quindi sono al punto di partenza!
Risposte
Quest'esercizio si basa su un semplice teorema, che sicuramente avrete visto a lezione:
Teorema. Siano [tex]V[/tex] e [tex]V^\prime[/tex] due spazi vettoriali. Allora se [tex]V[/tex] è di dimensione finita n e [tex](\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)[/tex] è una sua base, per ogni scelta di n vettori in [tex]V'[/tex], [tex]\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \ldots, \mathbf{f}_n[/tex] esiste ed è unica l'applicazione lineare [tex]\phi:V\toV'[/tex] tale che [tex]\phi(\mathbf{e}_i) = \mathbf{f}_i[/tex].
In questo caso sono due le richieste che devi soddisfare:
1) [tex]U= <(2,-1,0,1),(1,-1,1,1)>[/tex] deve essere il nucleo dell'applicazione lineare, ossia [tex]\phi(2,-1,0,1) = \phi(1,-1,1,1) = \mathbf{0}[/tex];
2) [tex]W=<(1,0,-1,1),(2,-2,2,1)>[/tex] deve essere l'immagine.
Pertanto il modo più naturale di procedere è il seguente:
1) completiamo [tex]((2,-1,0,1),(1,-1,1,1))[/tex] ad una base di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]. Questo è certamente possibile (perché?); indichiamo con [tex]((2,-1,0,1),(1,-1,1,1),\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4))[/tex] tale base;
2) in virtù del Teorema consideriamo l'unica applicazione lineare tale che [tex]\phi(2,-1,0,1) = \phi(1,-1,1,1) = \mathbf{0}[/tex], [tex]\phi(\mathbf{v}_3) = (1,1,-1,1)[/tex] e [tex]\phi(\mathbf{v}_4)=(2,-2,2,1)[/tex]
Hai capito bene i passaggi? O c'è qualcosa che non ti è chiaro? E soprattutto, sapresti scrivere la matrice di tale applicazione lineare (rispetto ad esempio alla base scelta, oppure alla base canonica?)
Teorema. Siano [tex]V[/tex] e [tex]V^\prime[/tex] due spazi vettoriali. Allora se [tex]V[/tex] è di dimensione finita n e [tex](\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)[/tex] è una sua base, per ogni scelta di n vettori in [tex]V'[/tex], [tex]\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \ldots, \mathbf{f}_n[/tex] esiste ed è unica l'applicazione lineare [tex]\phi:V\toV'[/tex] tale che [tex]\phi(\mathbf{e}_i) = \mathbf{f}_i[/tex].
In questo caso sono due le richieste che devi soddisfare:
1) [tex]U= <(2,-1,0,1),(1,-1,1,1)>[/tex] deve essere il nucleo dell'applicazione lineare, ossia [tex]\phi(2,-1,0,1) = \phi(1,-1,1,1) = \mathbf{0}[/tex];
2) [tex]W=<(1,0,-1,1),(2,-2,2,1)>[/tex] deve essere l'immagine.
Pertanto il modo più naturale di procedere è il seguente:
1) completiamo [tex]((2,-1,0,1),(1,-1,1,1))[/tex] ad una base di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]. Questo è certamente possibile (perché?); indichiamo con [tex]((2,-1,0,1),(1,-1,1,1),\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4))[/tex] tale base;
2) in virtù del Teorema consideriamo l'unica applicazione lineare tale che [tex]\phi(2,-1,0,1) = \phi(1,-1,1,1) = \mathbf{0}[/tex], [tex]\phi(\mathbf{v}_3) = (1,1,-1,1)[/tex] e [tex]\phi(\mathbf{v}_4)=(2,-2,2,1)[/tex]
Hai capito bene i passaggi? O c'è qualcosa che non ti è chiaro? E soprattutto, sapresti scrivere la matrice di tale applicazione lineare (rispetto ad esempio alla base scelta, oppure alla base canonica?)
completare il nucleo con una base di $RR^4$ è possibile perchè U e W sono sottospazi vettoriali di $RR^4$, quindi la dimensione delle rispettive basi può arrivare fino a 4.
Comunque molto utile il teorema che hai citato, in effetti è già la soluzione. Ha un nome oppure è una di quelle cose che i libri chiamano "proposizione"?
Comunque molto utile il teorema che hai citato, in effetti è già la soluzione. Ha un nome oppure è una di quelle cose che i libri chiamano "proposizione"?
"Legico":
completare il nucleo con una base di $RR^4$ è possibile perchè U e W sono sottospazi vettoriali di $RR^4$, quindi la dimensione delle rispettive basi può arrivare fino a 4.
Aspetta un attimo. U è un sottospazio vettoriale di [tex]\mathbb{R}^4[/tex], e fin qui ci siamo. Cosa intendi con "la dimensione delle rispettive basi può arrivare fino a 4"? U ha una dimensione ben precisa. E non capisco a cosa ti serva W nella costruzione della base che ti ho richiesto.
La risposta che mi sarei aspettato è la seguente: è possibile estendere [tex]\{(2,-1,0,1),(1,-1,1,1)\}[/tex] ad una base di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] perché i due vettori sono linearmente indipendenti (i.e. la matrice delle loro componenti ha rango 2).
Inoltre, non hai risposto all'ultima domanda: sapresti svolgere nella pratica quest'esercizio, ovvero sapresti scrivere la matrice dell'endomorfismo cercato?
P.S. Io non gli ho mai dato nessun nome a quel teorema...
Il fatto che sono linearmente indipendenti lo avevo dato per scontato, comunque intendevo che si può completare quella base perchè, essendo i due vettori che la compongono linearmente indipendenti ed essendo la base stessa sottospazio di $RR^4$, è "incompleta" (scusa la ripetizione), e posso arrivare fino ad un massimo di 4 vettori.
Inoltre chiedevo, visto che il teorema lo hai scritto tu, se lo conosci come "il teorema di ..." oppure come una proprietà delle applicazioni lineari.
Infine per quanto riguarda la matrice associata dell'endomorfismo (rispetto alla base scelta) è uno degli scogli che ho incontrato nella risoluzione, ovvero non ho un procedimento per calcolarla.
Inoltre chiedevo, visto che il teorema lo hai scritto tu, se lo conosci come "il teorema di ..." oppure come una proprietà delle applicazioni lineari.
Infine per quanto riguarda la matrice associata dell'endomorfismo (rispetto alla base scelta) è uno degli scogli che ho incontrato nella risoluzione, ovvero non ho un procedimento per calcolarla.
Mmm... ok, non avevo capito bene cosa intendevi.
Poi, ti avevo risposto (forse mi sono spiegato male). Io non lo conosco come "teorema di..."; nei miei appunti è segnato come proposizione.
E per quanto riguarda la matrice, prova a calcolarla adesso, così ti possiamo aiutare e correggere.
Dimmi come inizieresti e cosa ti blocca.
Ad esempio, un buon inizio è di iniziare a costruire esplicitamente la base di cui abbiamo parlato finora. In altre parole, che vettori sceglieresti come [tex]\mathbf{v}_3[/tex] e [tex]\mathbf{v}_4[/tex] del mio precedente post (sceglili nel modo più facile possibile, in modo da semplificarti i futuri conti!).
Poi, ti avevo risposto (forse mi sono spiegato male). Io non lo conosco come "teorema di..."; nei miei appunti è segnato come proposizione.
E per quanto riguarda la matrice, prova a calcolarla adesso, così ti possiamo aiutare e correggere.
Dimmi come inizieresti e cosa ti blocca.
Ad esempio, un buon inizio è di iniziare a costruire esplicitamente la base di cui abbiamo parlato finora. In altre parole, che vettori sceglieresti come [tex]\mathbf{v}_3[/tex] e [tex]\mathbf{v}_4[/tex] del mio precedente post (sceglili nel modo più facile possibile, in modo da semplificarti i futuri conti!).
Ok ok no problem, alla fine ci siamo capiti ...
Tornando all'esercizio, io come terzo e quarto vettore sceglierei quelli della base canonica di $RR^4$, di più facili non me ne vengono in mente!
Alla fine la base risulta $B={(1,0,-1,1),(0,-2,4,-1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$ dove i primi due vettori sono la base di U ridotta a scala.
Ora, dalla definizione che si usa per costruire la matrice associata di un endomorfismo, so che sulle colonne devono stare le coordinate di $L(v_i)$ (dove i $v_i$ sono i vettori di B) rispetto alla base del codominio che, essendo $RR^4$, potrebbe essere la base canonica. Intanto vediamo se è corretta questa parte...
...Tornando all'esercizio, io come terzo e quarto vettore sceglierei quelli della base canonica di $RR^4$, di più facili non me ne vengono in mente!
Alla fine la base risulta $B={(1,0,-1,1),(0,-2,4,-1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$ dove i primi due vettori sono la base di U ridotta a scala.
Ora, dalla definizione che si usa per costruire la matrice associata di un endomorfismo, so che sulle colonne devono stare le coordinate di $L(v_i)$ (dove i $v_i$ sono i vettori di B) rispetto alla base del codominio che, essendo $RR^4$, potrebbe essere la base canonica. Intanto vediamo se è corretta questa parte...
Alt! Hai usato i vettori di W, o è una mia allucinazione?
Ottima l'idea di utilizzare i vettori della base canonica (era proprio quello a cui pensavo).
Inoltre, tecnicamente, non serve ridurre a scala per ottenere la base, basta che tu ne sia sicuro...
Infine, è vero che come base del codominio puoi prendere la base canonica. Ma puoi anche prendere la stessa base che usi in partenza. Ti consiglierei di riscrivere la base e di provare a fare i conti in entrambe le situazioni, ossia a scrivere entrambe le matrici (usando la base canonica fai in un lampo, ma poi ti devi ricordare che la matrice è riferita a due basi diverse). Infine, potresti provare a riscrivere la matrice riferendola alla base canonica sia nel dominio che nel codominio. Ti viene in mente un metodo particolarmente rapido ed indolore per farlo (i.e. che non passi per le matrici di cambiamento di base)?
Ottima l'idea di utilizzare i vettori della base canonica (era proprio quello a cui pensavo).
Inoltre, tecnicamente, non serve ridurre a scala per ottenere la base, basta che tu ne sia sicuro...
Infine, è vero che come base del codominio puoi prendere la base canonica. Ma puoi anche prendere la stessa base che usi in partenza. Ti consiglierei di riscrivere la base e di provare a fare i conti in entrambe le situazioni, ossia a scrivere entrambe le matrici (usando la base canonica fai in un lampo, ma poi ti devi ricordare che la matrice è riferita a due basi diverse). Infine, potresti provare a riscrivere la matrice riferendola alla base canonica sia nel dominio che nel codominio. Ti viene in mente un metodo particolarmente rapido ed indolore per farlo (i.e. che non passi per le matrici di cambiamento di base)?
"Legico":Alcuni lo chiamano teorema fondamentale sulle applicazioni lineari.
Inoltre chiedevo, visto che il teorema lo hai scritto tu, se lo conosci come "il teorema di ..." oppure come una proprietà delle applicazioni lineari.
@dissonance: ok grazie, proverò a cercare qualcosa in merito
@maurer:aaaaa, ho scritto i vettori di W invece che quelli di U!!! pardon..
In ogni caso proprio a questo punto ho dei grossi problemi a costruire praticamente la base, perchè in teoria mi hai confermato che il mio ragionamento è giusto, ma effettivamente le coordinate di $L(v_1)$ e di $L(v_2)$ sono tutte 0, e le coordinate dei due vettori che ho messo per completare B sono i vettori di W. Quindi la matrice associata verrebbe: $M=( ( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , -1 , 4 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ) )$. Questo rispetto alla base canonica di $RR^4$. Confermi?
(questo è l'unico metodo che mi viene in mente per farlo, anche se a volte non è propriamente indolore)
@maurer:aaaaa, ho scritto i vettori di W invece che quelli di U!!! pardon..
In ogni caso proprio a questo punto ho dei grossi problemi a costruire praticamente la base, perchè in teoria mi hai confermato che il mio ragionamento è giusto, ma effettivamente le coordinate di $L(v_1)$ e di $L(v_2)$ sono tutte 0, e le coordinate dei due vettori che ho messo per completare B sono i vettori di W. Quindi la matrice associata verrebbe: $M=( ( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , -1 , 4 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ) )$. Questo rispetto alla base canonica di $RR^4$. Confermi?
(questo è l'unico metodo che mi viene in mente per farlo, anche se a volte non è propriamente indolore)
Immagino che con [tex]L(\cdot)[/tex] intendi l'applicazione lineare (non potrebbe essere altrimenti, ma è una notazione che non ho mai visto usare prima...).
In tal caso confermo. La matrice [tex]M[/tex] che hai scritto è la matrice riferita alla base [tex]\mathcal{B}=((1,-1,1,1),(2,-1,0,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0))[/tex] (ho scelto questi vettori e li ho scritti in quest'ordine perché così la matrice delle loro componenti è già ridotta - un truccaccio stupido quanto risparmioso
).
Prova adesso a descrivere in linea teorica cosa faresti per scrivere la matrice rispetto alla base [tex]\mathcal{B}[/tex] presa sia come base del dominio sia come base del codominio (se non ne hai voglia, non fare i conti, che potrebbero risultare un po' macchinosi...)
In tal caso confermo. La matrice [tex]M[/tex] che hai scritto è la matrice riferita alla base [tex]\mathcal{B}=((1,-1,1,1),(2,-1,0,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0))[/tex] (ho scelto questi vettori e li ho scritti in quest'ordine perché così la matrice delle loro componenti è già ridotta - un truccaccio stupido quanto risparmioso
).Prova adesso a descrivere in linea teorica cosa faresti per scrivere la matrice rispetto alla base [tex]\mathcal{B}[/tex] presa sia come base del dominio sia come base del codominio (se non ne hai voglia, non fare i conti, che potrebbero risultare un po' macchinosi...)
si, ho chiamato L la funzione lineare, quindi l'immagine di un generico vettore diventa $L(v_i)$
Per quanto riguarda la tua richiesta, io farei cosi: in primo luogo calcolo le immagini di ogni vettore della base B (presa come dominio); poi faccio la combinazione lineare dei vettori di B (presa come codominio), e sistemo i coefficienti in modo che risulti ogni volta un "immagine" diversa (cioè in modo che la combinazione lineare mi dia, in ordine, tutte le immagini calcolate prima); infine questi coefficienti saranno le colonne della mia matrice associata.
E' quello che ho fatto prima, solo senza fare i conti.
Per quanto riguarda la tua richiesta, io farei cosi: in primo luogo calcolo le immagini di ogni vettore della base B (presa come dominio); poi faccio la combinazione lineare dei vettori di B (presa come codominio), e sistemo i coefficienti in modo che risulti ogni volta un "immagine" diversa (cioè in modo che la combinazione lineare mi dia, in ordine, tutte le immagini calcolate prima); infine questi coefficienti saranno le colonne della mia matrice associata.
E' quello che ho fatto prima, solo senza fare i conti.
Ok, in altre parole ti calcoli le componenti delle immagini dei vettori della base del dominio rispetto ai vettori della base del codominio. Ad ogni immagine che calcoli, corrisponde un sistema lineare diverso. Ti faccio notare solo che le immagini dei primi due vettori della base coincidono con il vettore nullo e quindi hanno coordinate [tex](0,0,0,0)[/tex] rispetto ad ogni base.
E, in conclusione, sapresti ricondurre la matrice (corretta) che hai scritto prima, alla matrice dello stesso endomorfismo calcolata rispetto alla base canonica sia nel dominio che nel codominio?
Hint: ti serve conoscere le immagini dei vettori della base canonica e non c'è forse un sistema molto semplice da risolvere che ti può dare le informazioni mancanti?
E, in conclusione, sapresti ricondurre la matrice (corretta) che hai scritto prima, alla matrice dello stesso endomorfismo calcolata rispetto alla base canonica sia nel dominio che nel codominio?
Hint: ti serve conoscere le immagini dei vettori della base canonica e non c'è forse un sistema molto semplice da risolvere che ti può dare le informazioni mancanti?
Se mi avessi detto di calcolare da zero la matrice rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio), non ci sarebbero stati problemi (è un po banale in effetti )
Ma quel "sapresti ricondurre la matrice...", devo dire che mi ha messo un po' in crisi...
)Ma quel "sapresti ricondurre la matrice...", devo dire che mi ha messo un po' in crisi...
Dico "sapresti ricondurre" semplicemente perché non devi fare i conti da zero.
Comunque, ti faccio vedere quello che intendevo. Si tratta di un truccaccio utilissimo (a cui nemmeno io avrei mai pensato se non l'avesse suggerito l'insegnante
) che fa risparmiare un sacco di tempo e che quindi è molto consigliato utilizzare in sede d'esame.
Dunque, abbiamo imposto che [tex]L(2,-1,0,1) = L(1,-1,1,1) = (0,0,0,0)[/tex], [tex]L(1,0,0,0) = L(\mathbf{e}_1) = (1,0,-1,1)[/tex], [tex]L(0,1,0,0) = L(\mathbf{e}_2) = (2,-2,2,1)[/tex]. Per inciso ho notato che non hai messo quest'ultimo vettore nella base di prima, non avevo notato prima; non è sbagliato - perché hai sostituito un vettore della base con una combinazione dello stesso vettore con altri vettori della base e quindi continui a generare lo stesso sottospazio - ma non è necessario e, si sa, meno conti si fanno, meglio è.
Ora, scriviamo in forma di sistema il tutto e usiamo la linearità di L:
[tex]\left\{\begin{matrix}2L(\mathbf{e}_1) - L(\mathbf{e}_2) + L(\mathbf{e}_4) = (0,0,0,0) \\ L(\mathbf{e}_1) - L(\mathbf{e}_2) + L(\mathbf{e}_3) + L(\mathbf{e}_4) = (0,0,0,0) \\ L(\mathbf{e}_1) = (1,0,-1,1) \\ L(\mathbf{e}_2) = (2,-2,2,1) \end{matrix}[/tex]
Questo è un sistema matriciale nelle quattro incognite [tex]L(\mathbf{e}_1),L(\mathbf{e}_2),L(\mathbf{e}_3),L(\mathbf{e}_4)[/tex], facilissimo da risolvere (non devi nemmeno passare alle matrici, lo risolvi per sostituzione!). E poi dovresti essere in grado di scrivere la matrice in tutta tranquillità!
Comunque, ti faccio vedere quello che intendevo. Si tratta di un truccaccio utilissimo (a cui nemmeno io avrei mai pensato se non l'avesse suggerito l'insegnante
) che fa risparmiare un sacco di tempo e che quindi è molto consigliato utilizzare in sede d'esame.Dunque, abbiamo imposto che [tex]L(2,-1,0,1) = L(1,-1,1,1) = (0,0,0,0)[/tex], [tex]L(1,0,0,0) = L(\mathbf{e}_1) = (1,0,-1,1)[/tex], [tex]L(0,1,0,0) = L(\mathbf{e}_2) = (2,-2,2,1)[/tex]. Per inciso ho notato che non hai messo quest'ultimo vettore nella base di prima, non avevo notato prima; non è sbagliato - perché hai sostituito un vettore della base con una combinazione dello stesso vettore con altri vettori della base e quindi continui a generare lo stesso sottospazio - ma non è necessario e, si sa, meno conti si fanno, meglio è.
Ora, scriviamo in forma di sistema il tutto e usiamo la linearità di L:
[tex]\left\{\begin{matrix}2L(\mathbf{e}_1) - L(\mathbf{e}_2) + L(\mathbf{e}_4) = (0,0,0,0) \\ L(\mathbf{e}_1) - L(\mathbf{e}_2) + L(\mathbf{e}_3) + L(\mathbf{e}_4) = (0,0,0,0) \\ L(\mathbf{e}_1) = (1,0,-1,1) \\ L(\mathbf{e}_2) = (2,-2,2,1) \end{matrix}[/tex]
Questo è un sistema matriciale nelle quattro incognite [tex]L(\mathbf{e}_1),L(\mathbf{e}_2),L(\mathbf{e}_3),L(\mathbf{e}_4)[/tex], facilissimo da risolvere (non devi nemmeno passare alle matrici, lo risolvi per sostituzione!). E poi dovresti essere in grado di scrivere la matrice in tutta tranquillità!
"maurer":
Dunque, abbiamo imposto che [tex]L(2,-1,0,1) = L(1,-1,1,1) = (0,0,0,0)[/tex], [tex]L(1,0,0,0) = L(\mathbf{e}_1) = (1,0,-1,1)[/tex], [tex]L(0,1,0,0) = L(\mathbf{e}_2) = (2,-2,2,1)[/tex]. Per inciso ho notato che non hai messo quest'ultimo vettore nella base di prima, non avevo notato prima; non è sbagliato - perché hai sostituito un vettore della base con una combinazione dello stesso vettore con altri vettori della base e quindi continui a generare lo stesso sottospazio - ma non è necessario e, si sa, meno conti si fanno, meglio è.
Si, è vero. Li avevo sostituiti con i vettori in forma a scala.
"maurer":
Ora, scriviamo in forma di sistema il tutto e usiamo la linearità di L:
[tex]\left\{\begin{matrix}2L(\mathbf{e}_1) - L(\mathbf{e}_2) + L(\mathbf{e}_4) = (0,0,0,0) \\ L(\mathbf{e}_1) - L(\mathbf{e}_2) + L(\mathbf{e}_3) + L(\mathbf{e}_4) = (0,0,0,0) \\ L(\mathbf{e}_1) = (1,0,-1,1) \\ L(\mathbf{e}_2) = (1,0,-1,1) \end{matrix}[/tex]
Intanto Suppongo che sia $L(\mathbf{e}_2) = (2,-2,2,1)$ nel sistema; e inoltre vorrei sapere da dove hai preso le prime due equazioni.
Supponi bene... mi sono distratto un attimo!
Le prime due equazioni (ho saltato qualche passaggio) le ho ottenute, come avevo specificato, mediante la linearità.
Ti faccio vedere come ottengo la prima: da [tex]L(2,-1,0,1) = (0,0,0,0)[/tex] ottengo
[tex]L((2,0,0,0)+(0,-1,0,0)+(0,0,0,1))=L(2(1,0,0,0)-(0,1,0,0)+(0,0,0,1)) =[/tex]
[tex]= L(2\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_4) = (0,0,0,0)[/tex]
A questo punto uso la linearità per ottenere [tex]2L(\mathbf{e}_1) - L(\mathbf{e}_2) + L(\mathbf{e}_4) = (0,0,0,0)[/tex]
Ti è più chiaro adesso?
Le prime due equazioni (ho saltato qualche passaggio) le ho ottenute, come avevo specificato, mediante la linearità.
Ti faccio vedere come ottengo la prima: da [tex]L(2,-1,0,1) = (0,0,0,0)[/tex] ottengo
[tex]L((2,0,0,0)+(0,-1,0,0)+(0,0,0,1))=L(2(1,0,0,0)-(0,1,0,0)+(0,0,0,1)) =[/tex]
[tex]= L(2\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_4) = (0,0,0,0)[/tex]
A questo punto uso la linearità per ottenere [tex]2L(\mathbf{e}_1) - L(\mathbf{e}_2) + L(\mathbf{e}_4) = (0,0,0,0)[/tex]
Ti è più chiaro adesso?
Si si, ora è chiaro il procedimento.
Comunque alla fine mi ricavo [tex]L(\mathbf{e}_1),L(\mathbf{e}_2),L(\mathbf{e}_3),L(\mathbf{e}_4)[/tex] e queste saranno le nuove colonne della matrice associata?
Comunque alla fine mi ricavo [tex]L(\mathbf{e}_1),L(\mathbf{e}_2),L(\mathbf{e}_3),L(\mathbf{e}_4)[/tex] e queste saranno le nuove colonne della matrice associata?
Esattamente così... non trovi che sia un metodo molto più economico (e meno soggetto ad errori di calcolo)?
Ti faccio notare che altrimenti avresti dovuto:
1) calcolare le componenti dei vettori [tex]\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4[/tex] rispetto alla tua altra base (il che significa risolvere due sistemi lineari, magari semplici, ma comunque due);
2) calcolare le immagini di quei vettori utilizzando la tua matrice.
Ti faccio notare che altrimenti avresti dovuto:
1) calcolare le componenti dei vettori [tex]\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4[/tex] rispetto alla tua altra base (il che significa risolvere due sistemi lineari, magari semplici, ma comunque due);
2) calcolare le immagini di quei vettori utilizzando la tua matrice.
Sicuramente, quoto in pieno e aggiungo anche MOLTO più intuitivo di quello che mi sarebbe toccato... 
We maurer, non ci crederai ma un paio di esercizi dopo quello che ho postato qui era richiesto proprio di scrivere la matrice dello stesso endomorfismo ma relativa alla base canonica...
Quando si dice il destino...
In ogni caso sentiti ringraziamenti per avermi fatto risparmiare anche il tempo di aprire un nuovo post!!
Quando si dice il destino...
In ogni caso sentiti ringraziamenti per avermi fatto risparmiare anche il tempo di aprire un nuovo post!!
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