Si consideri l'endomorfismo f

[m911]

si consideri l'endomorfismo f definito rispetto alla base canonica della seguente matrice
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( -1 , 1 , -3 ),( 3 , 2 , 4 ) ) $
si stabilisca quale delle affermazioni é verificata

a)f é diagonalizzabile b) $ (1,5,0) in Im f $ c) f é surgettiva d)f é ingettiva

salve a tutti,
trovando gli autovalori ho visto che non tutti appartengono ad R quindi F non é diagonalizzabile,
per verificare la b) ho pensato di fare
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( -1 , 1 , -3 ),( 3 , 2 , 4 ) ) .( ( x ),( y ),( z ) ) = (( 1 ),( 5 ),( 0 ) ) $

di conseguenza mi da determinati valori ma non ho capito come proseguire

[Maci86]

Io lascerei il punto b) da parte e svolgerei più semplicemente il punto c) e d) assieme infatti se fosse iniettiva, visto che lo spazio ha la stessa dimensione, sarebbe pure suriettiva, quindi devono essere false entrambe.

Se vuoi troviamo la soluzione del sistema:
$((1,1,1,1),(-1,1,-3,5),(3,2,4,0))=>((1,1,1,1),(0,2,-2,6),(0,-1,1,3))=> ((1,0,2,4),(0,-1,1,3),(0,0,0,0))=>((-2),(0),(3))+ <((-2),(1),(1))>$
Ma era ovvio, senza fare conti

[m911]

mmm cio che non ho ben capito é come individuare la funzione f che se non sbaglio é rappresentata dalla matrice

[Kashaman]

"m91":mmm cio che non ho ben capito é come individuare la funzione f che se non sbaglio é rappresentata dalla matrice

Esatto. nel nostro caso ti basta moltiplicare $A$ per il vettore colonna $(x,y,z)^t$ ed ottieni l'espressione di $f$.
Ma attenzione, questo è un caso particolare.
Un'altra strada potrebbe essere questa.
Sai che , per definizione di matrice associata, se $B={e_1,e_2,e_3}$ è base canonica,
sai che $f(e_1)=1*e_1+(-1)e_2+3e_3=(1,-1,3)$ , $f(e_2)=1e_1+1e_2+2e_3=(1,1,2)$ e $f(e_3)=1e_1-3e_2+4e_3=(1,3,4)$.
Detto ora un vettore $v=(x,y,z) \in RR^3$ , ci chiediamo quanto valga $f(v)$ . Rispetto a $B$ $v=xe_1+ye_2+ze_3$
dunque $f(x,y,z)=f(xe_1+ye_2+ze_3)$ sai che $f$ è lineare e quindi puoi scrivere che
$f(x,y,z)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3) = x(1,-1,3)+y(1,1,2)+z(1,3,4) =...........$ (lascio a te i conti).
Per discutere l'ingettività e la suriettività di $f$, senza calcolare eventuali basi di tali spazi, puoi ragionare sulla matrice $A$, in particolar modo ragionando sul suo rango , tenendo conto che $dimImf= rgA$ e la relazione $dimV=dimKerf+dimImf$.
La parte a) , mi sembra corretto il ragionamento.
Di norma si agisce così :
1) si calcola il polinomio caratteristico.
2) si vede se è decomponibile nel prodotto di fattori lineari in $K$ , il campo scelto.
3) per ogni radice si stabilisce la sua molteplicità algebrica .
4) si verifica se la dimensione di $V_\lambda$ coincide con la molteplicità algebrica di $\lambda$.

Se sono soddisfatti questi quattro punti, puoi dire che esiste certamente una base composta da autovettori per $f$ diagonalizzante.


Per l'altro punto.. devi considerare $f^(-1) (1,5,9)={v \in RR^3 | (1)f(v)=(1,5,9)}$ ,quindi , di fatto.. penso che tu stavi facendo bene. Perché la (1)
equivale a determinare le soluzioni del sistema lineare :
$A X = (1 5 9)^t$.

[Maci86]

La funzione f non ti serve a risolvere l'esercizio, ti basta la matrice. Infatti una funzione è iniettiva se il ker è costituito dal vettore $0$ ed è suriettiva se è di rango pari alla dimensione dello spazio di arrivo.