Sforzo normale e di taglio

[Jengis11]

Mi sembrava ci fosse pure una sezione su meccanica razionale, forse mi sbaglio, cmq posto qui che l'argomento è abbastanza affine: premetto che sarà sicuramente na cavolata, ci stà che a quest'ora abbia già fuso:

Un es nella prima parte mi chiedeva $T$, un tensore degli sforzi generico,(fatto), poi mi chiede di trovate lo sforzo rispetto ad un versore $N=versV$ con $V=2e_1 + 4e_2 + 4e_3$ (fatto, ho diviso ogni elemento di $V$ per il modulo di $V$, quindi ho fatto $TscalarN$.

Adesso mi chiede le componenti normali e di taglio dello sforzo.. ma non ci arrivo

[Jengis11]

forse non mi sono spiegato: si tratta di trovare le componenti parallela e perpendicolare del vettore "sforzo" sul versore n.. Aiuto please!!

[killing_buddha]

Trovata la direzione del vettore sforzo si tratta di fare due prodotti scalari; puoi ricordare come e' definito (matematicamente, se ci riesci) il tensore degli sforzi?

[M. Le Blanc]

Dati due vettori a e b il prodotto tensoriale è una funzione vettoriale tale che:
a $\otimes$ b : V $\rightarrow$ V
a $\otimes$ b (v) = a(b $\cdot$ v)
Si dimostra in due righe che è un'applicazione lineare. Chiamata A questa applicazione lineare e data e1,e2,e3 una base ortonormale, puoi scrivere le componenti di A nella base data semplicemente facendo il prodotto scalare:
Aij = (Acj) $\cdot$ ci con i,j=1,2,3 in questo caso
Puoi organizzare i coefficienti in forma matriciale disponendo sulle colonne le componenti del vettore Acj (quindi se cambi base cambia la matrice perché cambiano le componenti dei vettori scritti nella base assegnata, ma non cambia l'applicazione stessa!)

Detto questo ti invito a guardare questa figura: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Forze_Cauchy2.png
Questo è il solido di Cauchy, più propriamente "continuo di Cauchy: la funzione vettoriale spostamento deve essere una biiezione, e dev'essere continua e derivabile (altrimenti avresti creazione di materia o strappi!) Avendo il tensore degli sforzi ed n hai trovato il vettore t(n), ma allora la faccenda è molto semplice:
dato che conosci n conosci il piano la cui giacitura è ortogonale ad n (definizione del prodotto scalare, se ax+by+cz=0 allora hai (a,b,c) $\cdot$ (x,y,z) = 0) ti basta proiettare il vettore t(n) sul piano per avere la componente di taglio, la componente normale infatti l'hai già (conosci il vettore dello sforzo e conosci n)! Per la proiezione ti rimando ad un altro post: viewtopic.php?t=77005&p=532564

M. Le Blanc

PS: Il problema interessante da risolvere è: esistono basi per le quali lo sforzo non ha componente di taglio? Se esistono quali sono? Il tensore in questo caso come diventa?

[Jengis11]

LOLOl era un pò che non accedevo, senti qua come mi sono acculturato nel frattempo:

ps-1 certo
ps-2 la base costituita dagli autovettori del tensore
ps-3 diagonale

in effetti essendo il tensore degli sforzi simmetrico, per il teorema spettrale reale ( ) è sempre diagonalizzabile: può essere messo in forma diagonale utilizzando un cambiamento di base su una terna che sia costituita dai suoi autovettori.