Sfere e piani tangenti
Salve ragazzi vi chiedo un aiuto sul seguente problema.
Sia
$ x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z = 3 $
una sfera di centro C = (1,-1,2) e raggio 3.
Sia una retta r così definita:
$ { ( 3x+4y-z=-3 ),( x-7y+z = c ):} $
Si trovi c in modo che esistano piani tangenti alla sfera e passanti per r.
Allora inizialmente si osserva che il piano $ 3x+4y-z=-3 $ passa per il centro della sfera. Si ricerca un piano $ Pi $ ortogonale al primo sempre passante per r (sommiamo il primo al secondo membro del sistema). Si ottiene $Pi: 4x-3y = c-3 $.
A questo punto si calcola la distanza tra il centro della sfera e il piano appena individuato e la si impone maggiore o uguale al raggio:
$ dist(C,Pi) = |4+3+3-c|/sqrt(16+9) = |10-c|/5 >=3 $
Risolvendo si ottiene $ c <=-5 $ oppure $ c>=25 $
A questo punto il professore afferma che il piano tangente per i due valori 5 e -25 è uno solo (due piani coincidenti) e che vi sono due piani tangenti distinti solo per valori minori di -5 e maggiori di 25.
Non riesco a capire questa parte...a mio avviso non dovrei porre semplicemente distanza centro - piano ortogonale uguale al raggio?! Cioè con i valori esterni la mia retta dovrebbe allontanarsi eccessivamente dalla sfera e quindi il piano non dovrebbe avere più punti in comune, per contro se io mi avvicinassi il piano sarebbe secante...
Vi ringrazio per l'aiuto
Sia
$ x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z = 3 $
una sfera di centro C = (1,-1,2) e raggio 3.
Sia una retta r così definita:
$ { ( 3x+4y-z=-3 ),( x-7y+z = c ):} $
Si trovi c in modo che esistano piani tangenti alla sfera e passanti per r.
Allora inizialmente si osserva che il piano $ 3x+4y-z=-3 $ passa per il centro della sfera. Si ricerca un piano $ Pi $ ortogonale al primo sempre passante per r (sommiamo il primo al secondo membro del sistema). Si ottiene $Pi: 4x-3y = c-3 $.
A questo punto si calcola la distanza tra il centro della sfera e il piano appena individuato e la si impone maggiore o uguale al raggio:
$ dist(C,Pi) = |4+3+3-c|/sqrt(16+9) = |10-c|/5 >=3 $
Risolvendo si ottiene $ c <=-5 $ oppure $ c>=25 $
A questo punto il professore afferma che il piano tangente per i due valori 5 e -25 è uno solo (due piani coincidenti) e che vi sono due piani tangenti distinti solo per valori minori di -5 e maggiori di 25.
Non riesco a capire questa parte...a mio avviso non dovrei porre semplicemente distanza centro - piano ortogonale uguale al raggio?! Cioè con i valori esterni la mia retta dovrebbe allontanarsi eccessivamente dalla sfera e quindi il piano non dovrebbe avere più punti in comune, per contro se io mi avvicinassi il piano sarebbe secante...
Vi ringrazio per l'aiuto
Risposte
Nessuno ha qualche idea?? Domani ho la prova di algebra e mi farebbe comodo aver capito bene questa tipologia di esercizio!
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