Sfera tangente alla retta.
Buongiorno 
Devo determinare l'equazione delle sfere tangenti al piano $ pi: x-y+2z-1=0 $ nel punto $ P=(1,0,0) $ e tangenti all'asse z.
Allora, in primo luogo ho cercato l'equazione generica di tutte le circonferenze tangenti a $ pi $ in $ P $. Mi viene questo:
$ (x-1)^(2)+y^2+z^2+k(x-y+2z-1)=0 => x^2+y^2+z^2-2x+1+k(x-y+2z-1)=0 => x^2+y^2+z^2+x(-2+k)-ky+2kz+1-k=0 $
Ora so che il centro e il raggio sono rispettivamente:
$ C=(1-k/2 ; k/2 ; -k ) $ e $ r=sqrt(3/2k^2)=ksqrt(3/2) $
Ora però cosa devo fare?
Devo determinare l'equazione delle sfere tangenti al piano $ pi: x-y+2z-1=0 $ nel punto $ P=(1,0,0) $ e tangenti all'asse z.
Allora, in primo luogo ho cercato l'equazione generica di tutte le circonferenze tangenti a $ pi $ in $ P $. Mi viene questo:
$ (x-1)^(2)+y^2+z^2+k(x-y+2z-1)=0 => x^2+y^2+z^2-2x+1+k(x-y+2z-1)=0 => x^2+y^2+z^2+x(-2+k)-ky+2kz+1-k=0 $
Ora so che il centro e il raggio sono rispettivamente:
$ C=(1-k/2 ; k/2 ; -k ) $ e $ r=sqrt(3/2k^2)=ksqrt(3/2) $
Ora però cosa devo fare?
Risposte
Hai finito, non avendo altri vincoli era ovvio che venisse un fascio di circonferenze.
No, devo ancora approfondire l'equazione in modo che individui le sfere tangenti all'asse z. Questo è quello che non so come fare!
Io pensavo si facesse così. L'asse z è uguale a $ { ( x=0 ),( y=0 ),( z=t ):} $ . Quindi ho pensato di sostituire al fascio che ho trovato questi parametri e porre il discriminante uguale a zero. Pertanto:
$ t^2+2kt-k=0 => 4k^2+4k=0 <=> k=0 $ o $ k=-1 $ .
Quindi non mi resta che sostituire k al fascio di sfere.
Io credevo che così fosse giusto, ma la soluzione data dell'esercizio è diversa: $ k=(-1pm sqrt5)/2 $
Dov'è che sbaglio?
$ t^2+2kt-k=0 => 4k^2+4k=0 <=> k=0 $ o $ k=-1 $ .
Quindi non mi resta che sostituire k al fascio di sfere.
Io credevo che così fosse giusto, ma la soluzione data dell'esercizio è diversa: $ k=(-1pm sqrt5)/2 $
Dov'è che sbaglio?
"Vegastar":
No, devo ancora approfondire l'equazione in modo che individui le sfere tangenti all'asse z. Questo è quello che non so come fare!
Hai pienamente ragione, mi era sfuggito. Ci penso e ti dò qualche suggerimento.
Scusate se m'inserisco ma sta roba mi piace molto...Allora fai così.Dapprima trovi il piano passante per C e
perpendicolare all'asse z.L'equazione di esso è $z+k=0$.Poi intersechi tale piano con l'asse z medesimo e trovi il
punto D(0,0,-k). La distranza tra C e D deve eguagliare il raggio $r=k sqrt(3/2)$.Risolvendo l'equazione in k
che ne vieni, trovi i valori di k indicati nella risposta.
perpendicolare all'asse z.L'equazione di esso è $z+k=0$.Poi intersechi tale piano con l'asse z medesimo e trovi il
punto D(0,0,-k). La distranza tra C e D deve eguagliare il raggio $r=k sqrt(3/2)$.Risolvendo l'equazione in k
che ne vieni, trovi i valori di k indicati nella risposta.
Davvero? Grazie mille
"Vegastar":
Devo determinare l'equazione delle sfere tangenti al piano $ pi: x-y+2z-1=0 $ nel punto $ P=(1,0,0) $ e tangenti all'asse z.
Puoi provare a fare così: scrivi l'equazione della sfera di centro $P$ e raggio $0$ (sì, non hai letto male
)Scrivi il fascio di sfere generato da $pi$ (piano radicale) e dalla sfera che hai appena trovato.
Prendi l'equazione parametrica dell'asse $z$ - che è molto semplice - e sostituisci ad ogni variabile nell'equazione generica del fascio la rispettiva espressione parametrica. Imponendo la condizione di tangenza ($Delta=0$) hai finito.
Ma a me non viene lo stesso. HO trovato il piano passante per P e ortogonale all'asse z e ho trovato il punto di intersezione. Fin qui nessun problema. Ma non mi vengono i conti:
$ D(c,D)=r <=> sqrt((k/2-1)^2+(-k/2)^2+(-k+k)^2)=ksqrt(3/2) <=>sqrt(k^2/4+1-k+k^2/4)=ksqrt(3/2) <=> sqrt((k^2-2k+1)/2) = ksqrt(3/2) <=> (k-1)/sqrt2 = ksqrt(3/2) <=> (k-ksqrt3-1)/sqrt2 = 0 $
Però mi viene come risultato $ k=sqrt2/(1-sqrt3) $ . Come mai?
$ D(c,D)=r <=> sqrt((k/2-1)^2+(-k/2)^2+(-k+k)^2)=ksqrt(3/2) <=>sqrt(k^2/4+1-k+k^2/4)=ksqrt(3/2) <=> sqrt((k^2-2k+1)/2) = ksqrt(3/2) <=> (k-1)/sqrt2 = ksqrt(3/2) <=> (k-ksqrt3-1)/sqrt2 = 0 $
Però mi viene come risultato $ k=sqrt2/(1-sqrt3) $ . Come mai?
Hai sbagliato un calcolo nel fare il m.c.m. sotto la radice. In realtà viene così:
$sqrt((k^2-2k+2)/(2))=k sqrt(3/2)$
Quadrando: $(k^2-2k+2)/2=3/2k^2$ e quindi $k^2-2k+2=3k^2$ ovvero $2k^2+2k-2=0$ od anche $k^2+k-1=0$
da cui $k=(-1+-sqrt5)/2$
$sqrt((k^2-2k+2)/(2))=k sqrt(3/2)$
Quadrando: $(k^2-2k+2)/2=3/2k^2$ e quindi $k^2-2k+2=3k^2$ ovvero $2k^2+2k-2=0$ od anche $k^2+k-1=0$
da cui $k=(-1+-sqrt5)/2$
Hai ragione, grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo