Sfera omeomorfa a spazio proiettivo complesso?

[Folpo13]

Come da titolo mi sono imbattuto in questo risultato (in realtà abbastanza intuitivo) che $\mathbb{S}^2$ sia omeomorfo allo spazio proiettivo complesso $\mathbb{P}^1(\CC)$. La biezione è quello che uno si aspetterebbe: $p: \mathbb{S}^2 \\{N} \to \CC \cong \RR^2$ proiezione stereografica e $p(N) = P_infty$.

Quello che non ho per nulla capito dagli appunti del mio prof è come mostra che questa è di fatto un omeomorfismo (continua e aperta). Fa un claim che ogni intorno aperto di $N$ sulla sfera viene mandato su un intorno aperto di $P_infty = [0, 1]$ sullo spazio complesso e nonostante io capisca come mai questo risulti nella tesi, non ho veramente capito i passaggi che portano a questa conclusione. Qualcuno disposto ad aiutarmi?

Edit: risolto.