Sfera non compatta
ciao a tutti come faccio a dimostrare che in $l^2$ la sferas unitaria è chiusa limitata ma non compatta?
ovviamente è limitata ma perchè è chiusa ma non compatta?
grazie a tuti
ovviamente è limitata ma perchè è chiusa ma non compatta?
grazie a tuti
Risposte
La chiusura non mi pare difficile: basta ricordare la disuguaglianza:
$ || x - y || \geq | \ || x || - || y || \ | \qquad \forall x,y \in X $
valida per qualunque spazio $X$ di Banach. Da cui segue la continuità della norma rispetto alla convergenza in norma.
Per la compattezza prendi la successione (contenuta nella sfera unitaria):
$ a_1 = ( 1,0,0,0,\ldots ) $
$ a_2 = ( 0,1,0,0,\ldots ) $
$ a_3 = ( 0,0,1,0,\ldots ) $
$ \vdots $
chiaramente questa non ammette alcuna sotto-successione convergente ne segue che la sfera unitaria non è compatta (sequenzialmente).
$ || x - y || \geq | \ || x || - || y || \ | \qquad \forall x,y \in X $
valida per qualunque spazio $X$ di Banach. Da cui segue la continuità della norma rispetto alla convergenza in norma.
Per la compattezza prendi la successione (contenuta nella sfera unitaria):
$ a_1 = ( 1,0,0,0,\ldots ) $
$ a_2 = ( 0,1,0,0,\ldots ) $
$ a_3 = ( 0,0,1,0,\ldots ) $
$ \vdots $
chiaramente questa non ammette alcuna sotto-successione convergente ne segue che la sfera unitaria non è compatta (sequenzialmente).
non capisco come da quella disuguaglianza derivi la chiusura. 
e poi xke quella successione non ha sottosucc convergenti? nn mi è chiaro.
e poi xke quella successione non ha sottosucc convergenti? nn mi è chiaro.
La chiusura deriva da questo. Se $x_k$ è una successione contenuta nella sfera, convergente a un certo $y$ in norma allora:
$ || x_k || \to || y || $
da cui per il teorema di permanenza del segno $ || y || \leq 1$.
Per le sotto-successioni: comunque tu le prenda hai un oggetto che non converge mai:
$ [ a_{n_k} ]_j = {(1,\text{se } j=n_k),(0,\text{altrimenti}):}$
l'ottetto limite $b$, se esistesse, dovrebbe essere una successione tale che:
$ [ b ]_j = 0 \qquad \forall j $
e $ || b || = 1 $ (infatti per ogni $N$ fissato esiste un $bar {n_k}$ tale per cui $[a_{n_k}]_j$ è nullo per ogni $j bar {n_k}$).
$ || x_k || \to || y || $
da cui per il teorema di permanenza del segno $ || y || \leq 1$.
Per le sotto-successioni: comunque tu le prenda hai un oggetto che non converge mai:
$ [ a_{n_k} ]_j = {(1,\text{se } j=n_k),(0,\text{altrimenti}):}$
l'ottetto limite $b$, se esistesse, dovrebbe essere una successione tale che:
$ [ b ]_j = 0 \qquad \forall j $
e $ || b || = 1 $ (infatti per ogni $N$ fissato esiste un $bar {n_k}$ tale per cui $[a_{n_k}]_j$ è nullo per ogni $j
cioè quella successione che mi hai detto all'inizio cmq scelgo due elementi questi sono sempre distanti $\sqrt{2}$ e quindi non potrò mai trovare una sottosucc convergente?
Si esatto. Anzi usando il fatto che la distanza è fissata si dimostra che non esistono sotto-successioni in maniera certamente più elegante (e forse anche più corretta) rispetto al discorso che ho abbozzato io.
però scusa come si dimostra usando il fatto che la distanza è fissata?
cioè se per assurdo esistesse una sottosucc che converge allora...?
cioè se per assurdo esistesse una sottosucc che converge allora...?
Se la distanza è fissata la successione non è di Cauchy quindi non può convergere...
*** EDIT ***
Perché ovviamente anche per una qualunque sotto-successione estratta la distanza fra due elementi sarebbe sempre $\sqrt{2}$.
*** EDIT ***
Perché ovviamente anche per una qualunque sotto-successione estratta la distanza fra due elementi sarebbe sempre $\sqrt{2}$.
ah giusto. 
grazie
grazie
quindi, in altri termini, avete dimostrato che quella sfera è limitata (ovviamente), ma non totalmente limitata, giusto? se si, è un esempio carino! Altra cosa: per la chiusura, si poteva osservare che quella è la controimmagine di un chiuso (${1}\sub\RR$) ? che dite?
"dissonance":
quindi, in altri termini, avete dimostrato che quella sfera è limitata (ovviamente), ma non totalmente limitata, giusto? se si, è un esempio carino! Altra cosa: per la chiusura, si poteva osservare che quella è la controimmagine di un chiuso (${1}\sub\RR$) ? che dite?
No beh non abbiamo dimostrato nulla... è un esempio ultra-famoso e la dimostrazione me la ricordavo... (poi si può estendere in maniera banale a tutti gli Hilbert infinito-dimensionali).
Mi pare proprio che sia equivalente usare il fatto che la sfera sia la controimmagine di un chiuso attraverso una mappa continua.
Sul totalmente limitata non saprei perché in questo momento non mi ricordo la definizione...
la mappa continua è la norma che soddifa la relazione $||x||-||y||\leq ||x-y||$?
La relazione è:
$ ||x-y|| \geq | \ ||x|| - || y || \ | $
da cui segue la continuità rispetto alla convergenza in norma.
$ ||x-y|| \geq | \ ||x|| - || y || \ | $
da cui segue la continuità rispetto alla convergenza in norma.
non capisco il secondo membro della disugualglianza.
è la diferenza delle norme di x e y tutto in modulo? se si che senso ha non capisco
è la diferenza delle norme di x e y tutto in modulo? se si che senso ha non capisco
Si. E' una conseguenza della disuguaglianza triangolare... è abbastanza semplice anche da dimostrare. Prendi due elementi $x$ e $y$ tali che $||x||>||y||$. Allora siccome $x=(x-y)+y$ dalla disuguaglianza triangolare:
$ || x || = || (x-y) + y || \leq || x - y || + || y || $
portando $||y||$ al primo membro:
$ || x || - || y || \leq || x - y ||$
Ripetendo il discorso per $y$ nel caso in cui $||y||>||x||$ si trova:
$ || y || - || x || \leq || x - y || $
da cui la disuguaglianza:
$ | \ || x || - || y || \ | \leq || x - y || $
$ || x || = || (x-y) + y || \leq || x - y || + || y || $
portando $||y||$ al primo membro:
$ || x || - || y || \leq || x - y ||$
Ripetendo il discorso per $y$ nel caso in cui $||y||>||x||$ si trova:
$ || y || - || x || \leq || x - y || $
da cui la disuguaglianza:
$ | \ || x || - || y || \ | \leq || x - y || $
(*)si...praticamente david_e sta dicendo che la norma cioé l'applicazione $x|->\|x\|$ è Lipschitziana. (*)
per totalmente limitato (mi pare che si dica anche precompatto) si intende uno spazio metrico t.c. per ogni $\delta>0$ esiste un ricoprimento finito di dischi di raggio $\delta$.
Questa sfera però un ricoprimento finito di dischi di raggio 1 non ce l'ha: se ce l'avesse uno di questi dischi (di raggio 1) dovrebbe contenere infinite successioni tra quelle di sopra, e non è possibile. Non sarà rivoluzionario però è carino!
(edit) (*) scrivevo mentre scriveva david_e, questa riga non serve più.
per totalmente limitato (mi pare che si dica anche precompatto) si intende uno spazio metrico t.c. per ogni $\delta>0$ esiste un ricoprimento finito di dischi di raggio $\delta$.
Questa sfera però un ricoprimento finito di dischi di raggio 1 non ce l'ha: se ce l'avesse uno di questi dischi (di raggio 1) dovrebbe contenere infinite successioni tra quelle di sopra, e non è possibile. Non sarà rivoluzionario però è carino!
(edit) (*) scrivevo mentre scriveva david_e, questa riga non serve più.
Some additional piece of folklore, if you are fond of it:
https://www.matematicamente.it/forum/a-q ... 29576.html
[size=75]Of course, the most interesting and the unique truly informative post there is the last one[/size]
https://www.matematicamente.it/forum/a-q ... 29576.html
[size=75]Of course, the most interesting and the unique truly informative post there is the last one[/size]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo