Sfera e rette
salve ecco una traccia che non mi riesce:(
sai S la sfera di equazione $x^(2)+y^(2)+z^(2) +2x-y+2z+1=0$.
determinare le equazioni delle rette $s_1$ parallele al piano $z=0$ e tangente in $P=(0,0,1)$ ad S ed $s_2$ parallela al piano $x=0$ e tangente in $Q=(-1,1,0)$ ad S.
inpongo che la generica retta $s_1$ di eq. $ax+by+c=0$ sia parallelo al piano $z=0$ trovando l,m,n parametri di $s_2$ per la tangenza in P?dovrei calcolare il centro C e il raggio R della sfera ed imporre che la distanza da C di $S_1$ sia uguale ad R?
la stessa cosa si fa con $s_2$
perchè io ho ragionato cosi pero'. non mi viene:(
sai S la sfera di equazione $x^(2)+y^(2)+z^(2) +2x-y+2z+1=0$.
determinare le equazioni delle rette $s_1$ parallele al piano $z=0$ e tangente in $P=(0,0,1)$ ad S ed $s_2$ parallela al piano $x=0$ e tangente in $Q=(-1,1,0)$ ad S.
inpongo che la generica retta $s_1$ di eq. $ax+by+c=0$ sia parallelo al piano $z=0$ trovando l,m,n parametri di $s_2$ per la tangenza in P?dovrei calcolare il centro C e il raggio R della sfera ed imporre che la distanza da C di $S_1$ sia uguale ad R?
la stessa cosa si fa con $s_2$
perchè io ho ragionato cosi pero'. non mi viene:(
Risposte
Per prima cosa \(a\,x + b\,y + c = 0\) non rappresenta l'equazione di una retta in dimensione tre, ma di un piano.. Per cui non mi è chiaro come avresti utilizzato questa equazione nel tuo svolgimento.
Io ragionerei in termini di intersezioni di piani. Il piano parallelo a \( z = 0 \) e passante per \( P = (0,0,1) \) è \( z = 1 \). \( s_1 \) appartiene necessariamente a questo piano. \(s_1\) è poi tangente alla sfera per cui appartiene al piano tangente della sfera nel punto \( P \). In particolare, \( s_1 \) sarà l'intersezione tra questi due piani. In modo simile, si ha che \( s_2 \) sarà intersezione tra il piano \( x = -1 \) parallelo a \( x = 0 \) e passante per \( Q = (-1, 1, 0) \) e il piano tangente tangente a \( S \) nel punto \( Q \).
Per trovare il piano tangente puoi usare due metodi:
1. Trovare il centro della sfera e calcolandoti da esso i vettori normali ai piani tangenti.
2. Usare la formula per trovare un piano tangente ad un punto di una superficie implicita.
Il centro della sfera dovrebbe essere \( (-1, 1/2, -1) \). Fai tu i calcoli per trovarlo e per trovare i piani. Immagino che sia questo il metodo che rientra nelle tue conoscenze.
Usando il secondo metodo si ha che il piano tangente al punto \( (x_0, y_0, z_0) \) sulla sfera \( S \) dovrebbe essere, se non ho sbagliato i conti,
\[ (2\,x_0 + 2)\,(x - x_0) + (2\,y_0 - 1)\,(y - y_0) + (2\,z_0 + 2)\,(z - z_0) = 0. \]
Il piano tangente ad \( S \) in \( P \) dovrebbe quindi essere
\[ 2\,x - y + 4\,(z - 1) = 0. \]
Il piano tangente ad \( S \) in \( Q \) dovrebbe invece essere
\[ (y - 1) + 2\,z = 0. \]
Io ragionerei in termini di intersezioni di piani. Il piano parallelo a \( z = 0 \) e passante per \( P = (0,0,1) \) è \( z = 1 \). \( s_1 \) appartiene necessariamente a questo piano. \(s_1\) è poi tangente alla sfera per cui appartiene al piano tangente della sfera nel punto \( P \). In particolare, \( s_1 \) sarà l'intersezione tra questi due piani. In modo simile, si ha che \( s_2 \) sarà intersezione tra il piano \( x = -1 \) parallelo a \( x = 0 \) e passante per \( Q = (-1, 1, 0) \) e il piano tangente tangente a \( S \) nel punto \( Q \).
Per trovare il piano tangente puoi usare due metodi:
1. Trovare il centro della sfera e calcolandoti da esso i vettori normali ai piani tangenti.
2. Usare la formula per trovare un piano tangente ad un punto di una superficie implicita.
Il centro della sfera dovrebbe essere \( (-1, 1/2, -1) \). Fai tu i calcoli per trovarlo e per trovare i piani. Immagino che sia questo il metodo che rientra nelle tue conoscenze.
Usando il secondo metodo si ha che il piano tangente al punto \( (x_0, y_0, z_0) \) sulla sfera \( S \) dovrebbe essere, se non ho sbagliato i conti,
\[ (2\,x_0 + 2)\,(x - x_0) + (2\,y_0 - 1)\,(y - y_0) + (2\,z_0 + 2)\,(z - z_0) = 0. \]
Il piano tangente ad \( S \) in \( P \) dovrebbe quindi essere
\[ 2\,x - y + 4\,(z - 1) = 0. \]
Il piano tangente ad \( S \) in \( Q \) dovrebbe invece essere
\[ (y - 1) + 2\,z = 0. \]
"apatriarca":
Per trovare il piano tangente puoi usare due metodi:
1. Trovare il centro della sfera e calcolandoti da esso i vettori normali ai piani tangenti.
2. Usare la formula per trovare un piano tangente ad un punto di una superficie implicita.
]
il secondo metodo l'ho capito dalle conoscenza di analisi 2
il primo come si fa invece?
Per quanto riguarda il secondo metodo devi fare le seguenti cose:
1. Riscrivere l'equazione della sfera nella forma \( (x - c_x)^2 + (y - c_y)^2 + (z - c_z)^2 = r^2 \) in modo da trovare il centro \( C = (c_x, c_y, c_z) \) e il raggio \( r \) della sfera.
2. Un generico piano passante per il punto \( (x_0, y_0, z_0) \) è della forma \( n_x\,(x - x_0) + n_y\,(y - y_0) + n_z\,(z - z_0) = 0 \) dove \( (n_x, n_y, n_z) \) è un vettore normale al piano. Il raggio \( (x_0 - c_x, y_0 - c_y, z_0 - c_z) \) di una sfera con centro in \( (c_x, c_y, c_z) \) è certamente un vettore normale al piano tangente passante per quel punto. Per cui l'equazione diventa \[ (x_0 - c_x)\,(x - x_0) + (y_0 - c_y)\,(y - y_0) + (z_0 - c_z)\,(z - z_0) = 0. \]
Siccome \( C = (-1, 1/2, -1), \) l'equazione del piano tangente in \( P = (0, 0, 1) \) è
\[ x - y/2 + 2\,(z - 1) = 0. \]
L'equazione del piano tangente in \( Q = (-1, 1, 0) \) usando questo metodo è invece
\[ (y - 1)/2 + z = 0. \]
Come si vede queste equazioni sono uguali a quelle ottenute con l'altro metodo ma moltiplicate per una \(1/2\).
1. Riscrivere l'equazione della sfera nella forma \( (x - c_x)^2 + (y - c_y)^2 + (z - c_z)^2 = r^2 \) in modo da trovare il centro \( C = (c_x, c_y, c_z) \) e il raggio \( r \) della sfera.
2. Un generico piano passante per il punto \( (x_0, y_0, z_0) \) è della forma \( n_x\,(x - x_0) + n_y\,(y - y_0) + n_z\,(z - z_0) = 0 \) dove \( (n_x, n_y, n_z) \) è un vettore normale al piano. Il raggio \( (x_0 - c_x, y_0 - c_y, z_0 - c_z) \) di una sfera con centro in \( (c_x, c_y, c_z) \) è certamente un vettore normale al piano tangente passante per quel punto. Per cui l'equazione diventa \[ (x_0 - c_x)\,(x - x_0) + (y_0 - c_y)\,(y - y_0) + (z_0 - c_z)\,(z - z_0) = 0. \]
Siccome \( C = (-1, 1/2, -1), \) l'equazione del piano tangente in \( P = (0, 0, 1) \) è
\[ x - y/2 + 2\,(z - 1) = 0. \]
L'equazione del piano tangente in \( Q = (-1, 1, 0) \) usando questo metodo è invece
\[ (y - 1)/2 + z = 0. \]
Come si vede queste equazioni sono uguali a quelle ottenute con l'altro metodo ma moltiplicate per una \(1/2\).
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