SERIE: CRITERIO DI CONDENSAZIONE DI CAUCHY
Salve!!!ho un piccolo problema con una serie...so già il criterio che devo applicare ma non ci riesco!mi spiego meglio..
questa è la serie: arctgn / nlog^2n (manca il segno di sommatoria ma non ho idea di come si possa scrivere qui)
il criterio di cui parlavo prima è il criterio di condensazione di cauchy.Si applica quando il termine generale della serie an è decrescente e quando termini della serie sono positivi(come in questo caso!). in particolare dice che in queste condizioni an e 2^na2^n hanno lo stesso carattere...allora abbiamo:
an=arctgn/nlog^2n che potremmo anche approssimare a an=1/nlog^2n dato che la funzione arctgn risulterebbe limitata per ogni n...
ma non riesco a capire come sia 2^na2^n qualcuno saprebbe aiutarmi??vi ringrazio...
[/asvg]
questa è la serie: arctgn / nlog^2n (manca il segno di sommatoria ma non ho idea di come si possa scrivere qui)
il criterio di cui parlavo prima è il criterio di condensazione di cauchy.Si applica quando il termine generale della serie an è decrescente e quando termini della serie sono positivi(come in questo caso!). in particolare dice che in queste condizioni an e 2^na2^n hanno lo stesso carattere...allora abbiamo:
an=arctgn/nlog^2n che potremmo anche approssimare a an=1/nlog^2n dato che la funzione arctgn risulterebbe limitata per ogni n...
ma non riesco a capire come sia 2^na2^n qualcuno saprebbe aiutarmi??vi ringrazio...
[/asvg]
Risposte
Se capisco vuoi studiare la serie $\sum\frac(1)(n\log(n))$, col criterio di condensazione. Dato che
$a_n=\frac(1)(n\log(n))$, viene $2^na_(2n)=(2^n)/(2^n\log(2^n))=1/(\log(2) n)$. Dato che
$\sum\frac(1)(n)=+\infty$ la serie di partenza è divergente.
Con lo stesso sistema vedi che $\sum\frac(1)(n\log^a(n))<+\infty$ se e solo se $a>1$.
$a_n=\frac(1)(n\log(n))$, viene $2^na_(2n)=(2^n)/(2^n\log(2^n))=1/(\log(2) n)$. Dato che
$\sum\frac(1)(n)=+\infty$ la serie di partenza è divergente.
Con lo stesso sistema vedi che $\sum\frac(1)(n\log^a(n))<+\infty$ se e solo se $a>1$.
Scusa VGE, ma ti sei perso un quadrato per la strada! 
La serie era quella di termine generale $a_n=(arctg n)/(n*log^2n)$...
Si ha:
(*) $quad AA n in NN, quad pi/4*1/(n*log^2n)le a_n le pi/2*1/(n*log^2n)$
quindi basta studiare il carattere della serie $\sum 1/(nlog^2n)$ per riuscire a stabilire se la serie a termini positivi $\sum a_n$ converge o meno.
Applicando il Criterio di Condensazione riusciamo a dire che la $\sum 1/(n*log^2n)$ ha lo stesso carattere di $\sum 2^n/(2^n*log^2(2^n))=\sum 1/(n^2*log^2 2)=1/(log^2 2)*\sum1/n^2$, la quale risulta convergente perchè multipla della serie armonica generalizzata d'esponente $2$ ($>1$).
Ne viene che la serie assegnata converge.
Noto che dalle disuguaglianze (*) non si può procedere col metodo dell'ordine d'infinitesimo. La successione degli addendi di $\sum 1/(n*log^2n)$ è sì infinitesima per $nto +oo$ d'ordine $>1$, ma essa è d'ordine minore di ogni $alpha>1$ (ciò implica che $1/(n*log^2n)$ è un infinitesimo non dotato di ordine rispetto al campione $1/n$) e pertanto non si può dire nulla sulla sommabilità della serie.
@daniela87: per capire come inserire formule matematiche guarda qui.
La serie era quella di termine generale $a_n=(arctg n)/(n*log^2n)$...
Si ha:
(*) $quad AA n in NN, quad pi/4*1/(n*log^2n)le a_n le pi/2*1/(n*log^2n)$
quindi basta studiare il carattere della serie $\sum 1/(nlog^2n)$ per riuscire a stabilire se la serie a termini positivi $\sum a_n$ converge o meno.
Applicando il Criterio di Condensazione riusciamo a dire che la $\sum 1/(n*log^2n)$ ha lo stesso carattere di $\sum 2^n/(2^n*log^2(2^n))=\sum 1/(n^2*log^2 2)=1/(log^2 2)*\sum1/n^2$, la quale risulta convergente perchè multipla della serie armonica generalizzata d'esponente $2$ ($>1$).
Ne viene che la serie assegnata converge.
Noto che dalle disuguaglianze (*) non si può procedere col metodo dell'ordine d'infinitesimo. La successione degli addendi di $\sum 1/(n*log^2n)$ è sì infinitesima per $nto +oo$ d'ordine $>1$, ma essa è d'ordine minore di ogni $alpha>1$ (ciò implica che $1/(n*log^2n)$ è un infinitesimo non dotato di ordine rispetto al campione $1/n$) e pertanto non si può dire nulla sulla sommabilità della serie.
@daniela87: per capire come inserire formule matematiche guarda qui.
Scusa VGE, ma ti sei perso un quadrato per la strada!
Hai ragione (mi riconosco nello stereotipo del matematico distratto
). Però mi pare che il metodo fosse giusto - alla fine del mio
post avevo considerato il caso con un esponente, che contiene quindi il caso proposto.
Speriamo daniela87 abbia capito qualcosa...
salve ragazzi !!grazie 1000 per il vostro aiuto..ora ho anche capito come impostare meglio le espressioni, cosi magari la prossima volta riusciro a scrivere meglio in questo ottimo forum!!!
!!grazie 1000 per il vostro aiuto..ora ho anche capito come impostare meglio le espressioni, cosi magari la prossima volta riusciro a scrivere meglio in questo ottimo forum!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo