SERIE: CRITERIO DI CONDENSAZIONE DI CAUCHY

daniela871
Salve!!!ho un piccolo problema con una serie...so già il criterio che devo applicare ma non ci riesco!mi spiego meglio..

questa è la serie: arctgn / nlog^2n (manca il segno di sommatoria ma non ho idea di come si possa scrivere qui)

il criterio di cui parlavo prima è il criterio di condensazione di cauchy.Si applica quando il termine generale della serie an è decrescente e quando termini della serie sono positivi(come in questo caso!). in particolare dice che in queste condizioni an e 2^na2^n hanno lo stesso carattere...allora abbiamo:

an=arctgn/nlog^2n che potremmo anche approssimare a an=1/nlog^2n dato che la funzione arctgn risulterebbe limitata per ogni n...

ma non riesco a capire come sia 2^na2^n qualcuno saprebbe aiutarmi??vi ringrazio...
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Risposte
ViciousGoblin
Se capisco vuoi studiare la serie $\sum\frac(1)(n\log(n))$, col criterio di condensazione. Dato che
$a_n=\frac(1)(n\log(n))$, viene $2^na_(2n)=(2^n)/(2^n\log(2^n))=1/(\log(2) n)$. Dato che
$\sum\frac(1)(n)=+\infty$ la serie di partenza è divergente.

Con lo stesso sistema vedi che $\sum\frac(1)(n\log^a(n))<+\infty$ se e solo se $a>1$.

gugo82
Scusa VGE, ma ti sei perso un quadrato per la strada! :-D
La serie era quella di termine generale $a_n=(arctg n)/(n*log^2n)$...
Si ha:

(*) $quad AA n in NN, quad pi/4*1/(n*log^2n)le a_n le pi/2*1/(n*log^2n)$

quindi basta studiare il carattere della serie $\sum 1/(nlog^2n)$ per riuscire a stabilire se la serie a termini positivi $\sum a_n$ converge o meno.
Applicando il Criterio di Condensazione riusciamo a dire che la $\sum 1/(n*log^2n)$ ha lo stesso carattere di $\sum 2^n/(2^n*log^2(2^n))=\sum 1/(n^2*log^2 2)=1/(log^2 2)*\sum1/n^2$, la quale risulta convergente perchè multipla della serie armonica generalizzata d'esponente $2$ ($>1$).
Ne viene che la serie assegnata converge.

Noto che dalle disuguaglianze (*) non si può procedere col metodo dell'ordine d'infinitesimo. La successione degli addendi di $\sum 1/(n*log^2n)$ è sì infinitesima per $nto +oo$ d'ordine $>1$, ma essa è d'ordine minore di ogni $alpha>1$ (ciò implica che $1/(n*log^2n)$ è un infinitesimo non dotato di ordine rispetto al campione $1/n$) e pertanto non si può dire nulla sulla sommabilità della serie.


@daniela87: per capire come inserire formule matematiche guarda qui. :-D

ViciousGoblin


Scusa VGE, ma ti sei perso un quadrato per la strada!



Hai ragione (mi riconosco nello stereotipo del matematico distratto :wink: ).
Però mi pare che il metodo fosse giusto - alla fine del mio
post avevo considerato il caso con un esponente, che contiene quindi il caso proposto.

Speriamo daniela87 abbia capito qualcosa...

daniela871
salve ragazzi :-D !!grazie 1000 per il vostro aiuto..ora ho anche capito come impostare meglio le espressioni, cosi magari la prossima volta riusciro a scrivere meglio in questo ottimo forum!!! :wink:

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