Separabilità e second countability in spazi metrizzabili
Salve a tutti.
Ho un dubbio che riguarda la dimostrazione del fatto che in uno spazio metrizzabile $X$ la separabilità è condizione sufficiente per verificare il secondo assioma di numerabilità.
Come saprete, detto $D\subseteq X$ il sottoinsieme denso numerabile di $X$ esistente per ipotesi, l'idea è quella di mostrare che l'insieme \[\mathcal{B}=\{B(x,r[: x\in D, \, r\in \mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [\}\] è una base numerabile per gli aperti della topologia.
La cosa che non mi torna è proprio la numerabilità di quell'insieme di palle aperte.
Ho pensato di definire in modo ovvio la funzione di $D\times (\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [)$ in $\mathcal{B}$ che manda la coppia $(x,r)$ nella palla aperta $B(x,r[$, e quindi mostrarne l'iniettività (che sia suriettiva è già scritto nella definizione di $\mathcal{B}$).
Ovvero, prese due coppie $(x_1,r_1)\ne (x_2,r_2)$ in $D\times (\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [)$, devo dimostrare che $B(x_1,r_1[\ne B(x_2,r_2[$.
Finora però sono riuscito a dimostrarlo solo nel caso banale in cui i due centri sono diversi e $d(x_1,x_2)\geq \text{min}\{r_1,r_2\}$ (in tal caso infatti uno dei due centri sta nella sua palla ma non nell'altra).
Qualcuno riesce ad illuminarmi, please? Grazie.
Ho un dubbio che riguarda la dimostrazione del fatto che in uno spazio metrizzabile $X$ la separabilità è condizione sufficiente per verificare il secondo assioma di numerabilità.
Come saprete, detto $D\subseteq X$ il sottoinsieme denso numerabile di $X$ esistente per ipotesi, l'idea è quella di mostrare che l'insieme \[\mathcal{B}=\{B(x,r[: x\in D, \, r\in \mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [\}\] è una base numerabile per gli aperti della topologia.
La cosa che non mi torna è proprio la numerabilità di quell'insieme di palle aperte.
Ho pensato di definire in modo ovvio la funzione di $D\times (\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [)$ in $\mathcal{B}$ che manda la coppia $(x,r)$ nella palla aperta $B(x,r[$, e quindi mostrarne l'iniettività (che sia suriettiva è già scritto nella definizione di $\mathcal{B}$).
Ovvero, prese due coppie $(x_1,r_1)\ne (x_2,r_2)$ in $D\times (\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [)$, devo dimostrare che $B(x_1,r_1[\ne B(x_2,r_2[$.
Finora però sono riuscito a dimostrarlo solo nel caso banale in cui i due centri sono diversi e $d(x_1,x_2)\geq \text{min}\{r_1,r_2\}$ (in tal caso infatti uno dei due centri sta nella sua palla ma non nell'altra).
Qualcuno riesce ad illuminarmi, please? Grazie.
Risposte
Un* docente rompi palle di topologia, giustamente a mio modo di ragionare, ti urlerebbe contro per quanto segue
Se il diametro è infinito hai l'iniettività gratis, ma se è finito devi fare un piccolo cambiamento!
"Lemniscata":venendo al problema, distingui i casi in cui \(X\) abbia diametro finito e infinito!
...detto $D\subseteq X$ il sottoinsieme denso numerabile di $X$ esistente per ipotesi...
Se il diametro è infinito hai l'iniettività gratis, ma se è finito devi fare un piccolo cambiamento!
Ti ringrazio j18eos, ci ripenso un po' su con questo nuovo spunto del diametro e poi mi faccio risentire!
Però non capisco la tua osservazione da docente rompipalle di topologia: con quell'affermazione stavo indicando con $D$ quel sottoinsieme denso numerabile che suppongo esistere per ipotesi... l'ho fissato una volta per tutte, quindi perché non posso mettere l'articolo determinativo?
E' chiaro che a priori potrebbero anche esisterne altri, chissà... però intanto so che ne esiste uno, lo fisso, e lo chiamo $D$... che male c'è?
Però non capisco la tua osservazione da docente rompipalle di topologia: con quell'affermazione stavo indicando con $D$ quel sottoinsieme denso numerabile che suppongo esistere per ipotesi... l'ho fissato una volta per tutte, quindi perché non posso mettere l'articolo determinativo?
E' chiaro che a priori potrebbero anche esisterne altri, chissà... però intanto so che ne esiste uno, lo fisso, e lo chiamo $D$... che male c'è?
Il\La fantomatic* docente pensa che tu confondi l'esistenza con l'unicità; per esprimere il pensiero in modo corretto e inopponibilmente dovresti dire:
...fissato un insieme numerabile \(D\) denso in \(X\)...
Beh, mi sembra di aver dimostrato che il/la fantomatica docente pensa male... 
Sono ben conscio del fatto che esistenza e unicità sono cose ben diverse!
Sono ben conscio del fatto che esistenza e unicità sono cose ben diverse!
Chiariamo che io ho recitato la parte del rompi palle; eppoi dai tuoi tentativi leggo che i concetti li conosci a dovere! 
OUT OF SELF Dato che in topologia, e i questo esercizio, si lavora con le palle aperte... penso che si possano usare dei lievi francesismi
eppoi dai tuoi tentativi leggo che i concetti li conosci a dovere! OUT OF SELF Dato che in topologia, e i questo esercizio, si lavora con le palle aperte... penso che si possano usare dei lievi francesismi
Già, hai fatto il rompi-palle... aperte!
Eccomi di nuovo qui.
Purtroppo non sono riuscito a cavare un ragno dal buco, accidenti.
Nell'ipotesi che il diametro sia infinito, per ora sono riuscito solo a dimostrare che:
\[\forall a\geq 0, \forall x_1\in X, \exists y\in D: d(x_1,y)>a\]
e chiaramente per densità di $D$ so che
\[\forall \varepsilon>0, \forall x_2\in X, \exists y\in D: d(x_2,y)<\varepsilon\]
Da qui a trovare un $y\in D$ che verifichi entrambe le condizioni con $a=r_1$ e $\varepsilon=r_2$, però, il passo mi pare lungo...
Purtroppo non sono riuscito a cavare un ragno dal buco, accidenti.
Nell'ipotesi che il diametro sia infinito, per ora sono riuscito solo a dimostrare che:
\[\forall a\geq 0, \forall x_1\in X, \exists y\in D: d(x_1,y)>a\]
e chiaramente per densità di $D$ so che
\[\forall \varepsilon>0, \forall x_2\in X, \exists y\in D: d(x_2,y)<\varepsilon\]
Da qui a trovare un $y\in D$ che verifichi entrambe le condizioni con $a=r_1$ e $\varepsilon=r_2$, però, il passo mi pare lungo...
Il diametro infinito ti consente di affermare che ogni palla della famiglia \(\mathcal{B}\) è un sottoinsieme aperto proprio di \(X\); nulla più!
Fissate le coppie \((x_1;r_1)\neq(x_2;r_2)\in D\times\mathbb{Q}^+\) con le prime coordinate distinte; se \(\max\{r_1;r_2\}\leq d(x_1;x_2)\) ottieni che le tali palle sono non vuote e disgiunte per cui sono distinte.
Il tuo problema è quanto tali palle si intersecano e il centro dell'una non appartiene all'altra: devi utilizzare la diseguaglianza triangolare per dimostrare che esiste almeno un punto dell'una che non appartiene all'altra; ti faccio notare che la separabilità di \(D\) la utilizzi per affermare che \(\mathcal{B}\) è un ricoprimento per aperti di \(X\).
Fissate le coppie \((x_1;r_1)\neq(x_2;r_2)\in D\times\mathbb{Q}^+\) con le prime coordinate distinte; se \(\max\{r_1;r_2\}\leq d(x_1;x_2)\) ottieni che le tali palle sono non vuote e disgiunte per cui sono distinte.
Il tuo problema è quanto tali palle si intersecano e il centro dell'una non appartiene all'altra: devi utilizzare la diseguaglianza triangolare per dimostrare che esiste almeno un punto dell'una che non appartiene all'altra; ti faccio notare che la separabilità di \(D\) la utilizzi per affermare che \(\mathcal{B}\) è un ricoprimento per aperti di \(X\).
Eh, lo so che devo usare la disuguaglianza triangolare... è praticamente l'unico strumento che posso usare! Il problema è... come?
C'entra il fatto che $\mathcal{B}$ è un ricoprimento di aperti di $X$?
C'entra il fatto che $\mathcal{B}$ è un ricoprimento di aperti di $X$?
Scusate, forse non ho capito il punto, ma (se ho capito bene) sembra una banalita': per ogni punto hai una famiglia numberabile di palle; hai quantita' numerabile di punti, quindi quell'insieme si scrive come union numerabile di insiemi numerabili e quindi e' numerabile.
Eh, certo, ma il tuo ragionamento funziona se e solo se la mappa che ho definito è iniettiva, che è proprio l'oggetto della questione!
Sul fatto che $D\times \mathbb{Q}^+$ si scriva come unione numerabile di insiemi numerabili non ci piove...
Sul fatto che $D\times \mathbb{Q}^+$ si scriva come unione numerabile di insiemi numerabili non ci piove...
"Lemniscata":
Sul fatto che D×Q+ si scriva come unione numerabile di insiemi numerabili non ci piove...
L'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile... è una conseguenza dell'assioma della scelta
http://www.proofwiki.org/wiki/Countable_Union_of_Countable_Sets_is_Countable
Certamente, perplesso, l'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile, e dunque il prodotto $D\times \mathbb{Q}^+$ lo è. Il problema è far vedere che da questo segue che anche $\mathcal{B}$ è numerabile, cosa che dimostri se dimostri l'iniettività dell'applicazione prima definita. E' più chiaro il problema adesso?
Scusa se tu fissi un punto $x \in D$. La collezione $B_x$ delle palle centrate in $x$ con raggio razionale è numerabile (perchè $Q^{+}$ lo è). Quindi la base $\beta = \bigcup_{x \in D} B_x$ è unione numerabile di insiemi numerabili. A che serve definire un'applicazione iniettiva?
E aggiungo che se anche le palle della collezione $B_x$ fossero tutte uguali (nel caso peggiore) non ce ne fregherebbe niente perchè uno spazio metrico in particolare è di hausdorff quindi comunque prendi due punti $x,y \in D$ con $x \ne y$ esistono almeno due palle aperte disgiunte che contengono $x$ e $y$ rispettivamente e siccome $D$ è numerabile per ipotesi se prendi anche una sola palla aperta per ogni $x \in D$ hai gia ottenuto una collezione numerabile. Quindi la base $\beta$ in nessun caso può essere finita, ma è come minimo numerabile, anzi per quel che si è detto prima è proprio numerabile... insomma sto dicendo che l'iniettivita non serve ... se ancora non ho capito mi arrendo... ciao.
Anche io continuo a non capire il punto. Quella mappa NON e' iniettiva in generale (pensa a un grafo localmente finito, connesso, con la shortest-path distance). Ma chi se ne frega! se uno ha qualche $B(x,r)=B(y,s)$, allora quell'insieme avra' "meno" elementi dell'unione disgiunta e quindi sara' ancora numerabile. A voler essere formali, c'e' una mappa suriettiva da un insieme numerabile (l'unione disgiunta di tutte quelle palle) all'insieme in questione; ovvero, se vi piace di piu', una mappa iniettiva dall'insieme in questione e un insieme numerabile (cioe' l'unione disgiunta).
"perplesso":
E aggiungo che se anche le palle della collezione $B_x$ fossero tutte uguali (nel caso peggiore) non ce ne fregherebbe niente perchè uno spazio metrico in particolare è di hausdorff quindi comunque prendi due punti $x,y \in D$ con $x \ne y$ esistono almeno due palle aperte disgiunte che contengono $x$ e $y$ rispettivamente e siccome $D$ è numerabile per ipotesi se prendi anche una sola palla aperta per ogni $x \in D$ hai gia ottenuto una collezione numerabile. Quindi la base $\beta$ in nessun caso può essere finita, ma è come minimo numerabile, anzi per quel che si è detto prima è proprio numerabile... insomma sto dicendo che l'iniettivita non serve ... se ancora non ho capito mi arrendo... ciao.
Oh là, questo sì che risolve una volta per tutte la questione, grazie mille Perplesso! Il problema era proprio dimostrare che l'insieme $\mathcal{B}$ era almeno numerabile - infatti, come ha fatto notare Valerio (se ho ben capito il suo post) , che fosse al più numerabile era già chiaro dalla suriettività della mappa definita sopra -, e in effetti discende dal fatto che uno spazio metrico è di Hausdorff, cosa a cui stupidamente non avevo pensato... passare per l'iniettività è uno sforzo inutile.
Grazie mille a tutti. Siete mitici.
Ora però mi rimane la curiosità: in queste ipotesi si può effettivamente dimostrare l'iniettività della funzione di sopra? Se sì, come?
OT: In effetti mi pareva strano che fosse così complicato dimostrare la numerabilità di $\mathcal{B}$, dato che sulle dispense che sto studiando c'era scritto semplicemente: "CLEARLY $\mathcal{B}$ is countable..."
Quella mappa NON e' iniettiva.
Come controesempio prendi lo spazio formato da un punto solo $x$. Tutte le palle $B(x,r)$ sono uguali.
Come controesempio prendi lo spazio formato da un punto solo $x$. Tutte le palle $B(x,r)$ sono uguali.
@lemniscata & co.Vi chiedo scusa... non mi sono accorto del banale errore che ho commesso anch'io. 
Oppure pensa a $Z$ come sottospazio di $R$. Tutte le palle con raggio $<1$ centrate in un intero x sono uguali a ${x}$.
Una domanda più interessante potrebbe essere questa:
Sia $X$ uno spazio metrico tale che $B(x,r) \ne B(x,s)$ per ogni $r,s \in Q$ con $r ne s$. Cosa possiamo dire su $X$?
Non so rispondere ma avanzo un'ipotesi: forse $X$ potrebbe rispettare qualche assioma di separabilità più forte della normalità ?? Boh.
Edit: no, ho detto una cavolata, per questo basta la metrica... xD
Una domanda più interessante potrebbe essere questa:
Sia $X$ uno spazio metrico tale che $B(x,r) \ne B(x,s)$ per ogni $r,s \in Q$ con $r ne s$. Cosa possiamo dire su $X$?
Non so rispondere ma avanzo un'ipotesi: forse $X$ potrebbe rispettare qualche assioma di separabilità più forte della normalità ?? Boh.
Edit: no, ho detto una cavolata, per questo basta la metrica... xD
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