Separabilità e second countability in spazi metrizzabili
Salve a tutti.
Ho un dubbio che riguarda la dimostrazione del fatto che in uno spazio metrizzabile $X$ la separabilità è condizione sufficiente per verificare il secondo assioma di numerabilità.
Come saprete, detto $D\subseteq X$ il sottoinsieme denso numerabile di $X$ esistente per ipotesi, l'idea è quella di mostrare che l'insieme \[\mathcal{B}=\{B(x,r[: x\in D, \, r\in \mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [\}\] è una base numerabile per gli aperti della topologia.
La cosa che non mi torna è proprio la numerabilità di quell'insieme di palle aperte.
Ho pensato di definire in modo ovvio la funzione di $D\times (\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [)$ in $\mathcal{B}$ che manda la coppia $(x,r)$ nella palla aperta $B(x,r[$, e quindi mostrarne l'iniettività (che sia suriettiva è già scritto nella definizione di $\mathcal{B}$).
Ovvero, prese due coppie $(x_1,r_1)\ne (x_2,r_2)$ in $D\times (\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [)$, devo dimostrare che $B(x_1,r_1[\ne B(x_2,r_2[$.
Finora però sono riuscito a dimostrarlo solo nel caso banale in cui i due centri sono diversi e $d(x_1,x_2)\geq \text{min}\{r_1,r_2\}$ (in tal caso infatti uno dei due centri sta nella sua palla ma non nell'altra).
Qualcuno riesce ad illuminarmi, please? Grazie.
Ho un dubbio che riguarda la dimostrazione del fatto che in uno spazio metrizzabile $X$ la separabilità è condizione sufficiente per verificare il secondo assioma di numerabilità.
Come saprete, detto $D\subseteq X$ il sottoinsieme denso numerabile di $X$ esistente per ipotesi, l'idea è quella di mostrare che l'insieme \[\mathcal{B}=\{B(x,r[: x\in D, \, r\in \mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [\}\] è una base numerabile per gli aperti della topologia.
La cosa che non mi torna è proprio la numerabilità di quell'insieme di palle aperte.
Ho pensato di definire in modo ovvio la funzione di $D\times (\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [)$ in $\mathcal{B}$ che manda la coppia $(x,r)$ nella palla aperta $B(x,r[$, e quindi mostrarne l'iniettività (che sia suriettiva è già scritto nella definizione di $\mathcal{B}$).
Ovvero, prese due coppie $(x_1,r_1)\ne (x_2,r_2)$ in $D\times (\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [)$, devo dimostrare che $B(x_1,r_1[\ne B(x_2,r_2[$.
Finora però sono riuscito a dimostrarlo solo nel caso banale in cui i due centri sono diversi e $d(x_1,x_2)\geq \text{min}\{r_1,r_2\}$ (in tal caso infatti uno dei due centri sta nella sua palla ma non nell'altra).
Qualcuno riesce ad illuminarmi, please? Grazie.
Risposte
Beh, ma i vostri controesempi non soddisfano l'ipotesi che lo spazio sia separabile, dunque non sono veri controesempi, sbaglio?
Beh $Z$ contiene un sottoinsieme numerabile denso, cioè se stesso...
@ j18eos: Di cosa ti dovresti scusare? Siamo tutti qui per discutere insieme e capire qualcosa di più. Sbagliare o non vedere certe cose è del tutto lecito, e anzi sono dell'opinione che gli sbagli fanno riflettere e imparare molto di più delle giuste intuizioni! Anzi ti ringrazio per la bella discussione, e se vorrai arricchirla ancora te ne sarò grato. Ho moltissimo da imparare da tutti voi.
"perplesso":
Beh $Z$ contiene un sottoinsieme numerabile denso, cioè se stesso...
Ah già, giusto, perché $Z$ eredita la struttura di spazio metrico dalla metrica usuale di $R$, ed è separabile perché contiene sé stesso come sottoinsieme numerabile denso rispetto alla sua topologia relativa, che coincide con quella indotta dalla metrica indotta. Ma in tale metrica indotta $Z$ è discreto, quindi come hai mostrato la mappa non può essere iniettiva. Mi pare che tutto fili, adesso.
Grazie mille di nuovo a tutti!!
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