Seno del topologo
Si consideri il seguente sottoinsieme di $RR^2$:
$X={(x,sin(1/x)}inRR^2|x in(0,+infty)}uu{0}xx[-1,1]$
Sia $alpha: [0, 1]->X$ una funzione continua tale che $alpha(0)=(0, 0)$. Si considerino le due proiezioni $pr_1:RR^2->RR$ e $pr_2:RR^2->RR$ e si ponga $alpha_i= pr_i\circalpha: [0, 1]->RR$ per $i = 1,2$. Si ponga $E = alpha_1^-1(0)$. Si ha che $E$ è non vuoto ed è chiuso in $[0,1]$. Si dimostri che per ogni $t_0inE$, esiste $epsilon>0$ tale che $(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]subeE$.
Allora la dimostrazione riportata dal testo è questa:
Poichè $alpha_2$ è continua e $alpha_2(t_0) = 0$, esiste $epsilon>0$ tale che $(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]subealpha_2^-1($ $(-1/2,1/2))$, cioè per ogni $tin(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]$ vale $abs(alpha_2(t))<1/2$. Supponiamo per assurdo che esista $t_1in(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]\\E$ , cioè $t_1in(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]$ tale che $alpha_1(t_1)!=0$. Quindi $alpha_1(t_1)> 0$. Si hanno 2 casi: $t_1 > t_0$ o $t_1 < t_0$. Consideriamo solo il primo caso $t_1 > t_0$. Per $n$ intero sufficientemente grande si ha $pi/2+2pin>1/(alpha_1(t_1))$, cioè $0 < (pi/2+2pin)^(−1) < alpha_1(t_1)$. Poichè $alpha_1$ è continua, per il teorema dei valori intermedi si ha $alpha_1($ $[t_0, t_1]) = [0, alpha_1(t_1)]$, quindi esiste $t_2in(0, t_1)$ tale che $alpha_1(t_2)= (pi/2+2pin)^(−1)$. Poichè $alpha(t_2)inX$, deve essere $alpha_2(t_2) = sin(pi/2+2pin) = 1 >1/2$, che è un assurdo.
Però due cose non mi sono chiare:
(1) perchè $alpha_2(t_0) = 0$? Non potrei avere tipo che $alpha(t_0) =(0,1)$ dove appunto $alpha_1(t_0) = 0$ (e quindi $t_0inE$) ma $alpha_2(t_0) = 1!=0$?
(2) Quando dice: "per il teorema dei valori intermedi si ha $alpha_1($ $[t_0, t_1]) = [0, alpha_1(t_1)]$, quindi esiste $t_2in(0, t_1)$ tale che $alpha_1(t_2)= (pi/2+2pin)^(−1)$", non capisco bene, nel senso che il teorema dei valori intermedi ci dice che siccome $alpha_1(t_0)=0$ allora $alpha_1$ assume tutti i valori tra $[0,alpha_1(t_1)]$ ma non è detto che $alpha_1($ $[t_0, t_1]) = [0, alpha_1(t_1)]$ (ad esempio potrei avere un $t_3in(t_0,t_1)$ tale che $alpha_1(t_3)>alpha_1(t_1)$, a meno che $alpha_1$ non sia strettamente crescente). Inoltre non capisco perchè poi prende $t_2in(0,t_1)$ quando stava applicando il teorema dei valori intermedi a $(t_0,t_1)$
$X={(x,sin(1/x)}inRR^2|x in(0,+infty)}uu{0}xx[-1,1]$
Sia $alpha: [0, 1]->X$ una funzione continua tale che $alpha(0)=(0, 0)$. Si considerino le due proiezioni $pr_1:RR^2->RR$ e $pr_2:RR^2->RR$ e si ponga $alpha_i= pr_i\circalpha: [0, 1]->RR$ per $i = 1,2$. Si ponga $E = alpha_1^-1(0)$. Si ha che $E$ è non vuoto ed è chiuso in $[0,1]$. Si dimostri che per ogni $t_0inE$, esiste $epsilon>0$ tale che $(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]subeE$.
Allora la dimostrazione riportata dal testo è questa:
Poichè $alpha_2$ è continua e $alpha_2(t_0) = 0$, esiste $epsilon>0$ tale che $(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]subealpha_2^-1($ $(-1/2,1/2))$, cioè per ogni $tin(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]$ vale $abs(alpha_2(t))<1/2$. Supponiamo per assurdo che esista $t_1in(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]\\E$ , cioè $t_1in(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]$ tale che $alpha_1(t_1)!=0$. Quindi $alpha_1(t_1)> 0$. Si hanno 2 casi: $t_1 > t_0$ o $t_1 < t_0$. Consideriamo solo il primo caso $t_1 > t_0$. Per $n$ intero sufficientemente grande si ha $pi/2+2pin>1/(alpha_1(t_1))$, cioè $0 < (pi/2+2pin)^(−1) < alpha_1(t_1)$. Poichè $alpha_1$ è continua, per il teorema dei valori intermedi si ha $alpha_1($ $[t_0, t_1]) = [0, alpha_1(t_1)]$, quindi esiste $t_2in(0, t_1)$ tale che $alpha_1(t_2)= (pi/2+2pin)^(−1)$. Poichè $alpha(t_2)inX$, deve essere $alpha_2(t_2) = sin(pi/2+2pin) = 1 >1/2$, che è un assurdo.
Però due cose non mi sono chiare:
(1) perchè $alpha_2(t_0) = 0$? Non potrei avere tipo che $alpha(t_0) =(0,1)$ dove appunto $alpha_1(t_0) = 0$ (e quindi $t_0inE$) ma $alpha_2(t_0) = 1!=0$?
(2) Quando dice: "per il teorema dei valori intermedi si ha $alpha_1($ $[t_0, t_1]) = [0, alpha_1(t_1)]$, quindi esiste $t_2in(0, t_1)$ tale che $alpha_1(t_2)= (pi/2+2pin)^(−1)$", non capisco bene, nel senso che il teorema dei valori intermedi ci dice che siccome $alpha_1(t_0)=0$ allora $alpha_1$ assume tutti i valori tra $[0,alpha_1(t_1)]$ ma non è detto che $alpha_1($ $[t_0, t_1]) = [0, alpha_1(t_1)]$ (ad esempio potrei avere un $t_3in(t_0,t_1)$ tale che $alpha_1(t_3)>alpha_1(t_1)$, a meno che $alpha_1$ non sia strettamente crescente). Inoltre non capisco perchè poi prende $t_2in(0,t_1)$ quando stava applicando il teorema dei valori intermedi a $(t_0,t_1)$
Risposte
La (1) in effetti è sbagliata, può essere diverso da $0$.
La (2) pure, ci va un $\supe$, non "$=$".
La (2) pure, ci va un $\supe$, non "$=$".
"otta96":
La (1) in effetti è sbagliata, può essere diverso da $0$.
La (2) pure, ci va un $\supe$, non "$=$".
Ah allora non ero impazzito ahahhah, si in effetti pensavo fosse sbagliato però volevo conferma. Ma quindi non va bene sta dimostrazione devo modificarla ma su questa impronta credo che comunque vada bene.
Non cambia quasi per nulla la dimostrazione, basta adattarla.
"otta96":
Non cambia quasi per nulla la dimostrazione, basta adattarla.
si si intedevo devo cambiare l'intorno $(-1/2,1/2)$ e l'inclusione
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