Sempre sulla dipendenza e indipendenza lineare.
Mi è venuto un dubbio, soffermandomi a pensare su una cosa.
Ho una matrice e la riduco nella forma a gradini, indicando con "spazio-riga" lo spazio che si ottiene dalle combinazioni lineari delle righe della prima matrice che mi consentono di passare nella forma a gradini. Se nel passaggio c'è una riga con tutti zeri, allora, come si sa, tale riga "va eliminata" quando ci interessa, ad esempio, sapere se le righe della prima matrice fossero o meno linearmente indipendenti, e in virtù di quel teorema secondo cui se dei vettori sono indipendenti almeno uno di essi dipende dai rimanenti. E questo è vero, poiché, si sa, il vettore nullo inserito in un sistema di vettori lo rende automaticamente dipendente.
Non mi ero mai soffermato, però, sul fatto che un sistema di equazioni può essere scritto così facendo ricorso alla teoria delle matrici:
$A x = c$, ove $A$ è la matrice dei coefficienti delle incognite, $x$ la colonna delle incognite e $c$ la colonna dei termini noti.
Sappiamo poi, che nel caso in cui la colonna dei termini noti sia uguale al vettore nullo, e il sistema omogeneo abbia una sola soluzione, allora il rango di $A$ equivale a quello di $A'$ ($A'$ è la matrice, come molti sapranno, che si ottiene completando $A$ con la colonna $c$). Ma se il rango di una matrice è il numero di righe o colonne indipendenti, allora per concludere che i due ranghi siano uguali bisognerebbe concludere che il vettore nullo "dipenda linearmente" dai vettori rappresentati dalle colonne di $A$.
Perciò chiedo: com'è il vettore nullo in questo caso? Si può dire che il vettore nullo dipenda linearmente da altri vettori non nulli?
In effetti, dire che un vettore dipenda linearmente da altri significa per definizione dire che esso si può esprimere come combinazione lineare degli altri. Si può concludere che il vettore nullo si può scrivere come combinazione lineare di qualsiasi sistema di vettori, ponendo tutti 0 al posto degli scalari che determinano la combinazione lineare? Stando alla pura definizione io concluderei di sì, ma ovviamente quando si ha a che fare con il vettore nullo, bisogna sempre andare con i piedi di piombo, perciò preferisco chiedere e pongo questo quesito stupidissimo. Il rigore delle definizioni non deve essere mai sottovalutato. E il caso del sottospazio banale, con molte delle sue implicazioni, deve essere sviscerato nei minimi particolari.
Ho una matrice e la riduco nella forma a gradini, indicando con "spazio-riga" lo spazio che si ottiene dalle combinazioni lineari delle righe della prima matrice che mi consentono di passare nella forma a gradini. Se nel passaggio c'è una riga con tutti zeri, allora, come si sa, tale riga "va eliminata" quando ci interessa, ad esempio, sapere se le righe della prima matrice fossero o meno linearmente indipendenti, e in virtù di quel teorema secondo cui se dei vettori sono indipendenti almeno uno di essi dipende dai rimanenti. E questo è vero, poiché, si sa, il vettore nullo inserito in un sistema di vettori lo rende automaticamente dipendente.
Non mi ero mai soffermato, però, sul fatto che un sistema di equazioni può essere scritto così facendo ricorso alla teoria delle matrici:
$A x = c$, ove $A$ è la matrice dei coefficienti delle incognite, $x$ la colonna delle incognite e $c$ la colonna dei termini noti.
Sappiamo poi, che nel caso in cui la colonna dei termini noti sia uguale al vettore nullo, e il sistema omogeneo abbia una sola soluzione, allora il rango di $A$ equivale a quello di $A'$ ($A'$ è la matrice, come molti sapranno, che si ottiene completando $A$ con la colonna $c$). Ma se il rango di una matrice è il numero di righe o colonne indipendenti, allora per concludere che i due ranghi siano uguali bisognerebbe concludere che il vettore nullo "dipenda linearmente" dai vettori rappresentati dalle colonne di $A$.
Perciò chiedo: com'è il vettore nullo in questo caso? Si può dire che il vettore nullo dipenda linearmente da altri vettori non nulli?
In effetti, dire che un vettore dipenda linearmente da altri significa per definizione dire che esso si può esprimere come combinazione lineare degli altri. Si può concludere che il vettore nullo si può scrivere come combinazione lineare di qualsiasi sistema di vettori, ponendo tutti 0 al posto degli scalari che determinano la combinazione lineare? Stando alla pura definizione io concluderei di sì, ma ovviamente quando si ha a che fare con il vettore nullo, bisogna sempre andare con i piedi di piombo, perciò preferisco chiedere e pongo questo quesito stupidissimo. Il rigore delle definizioni non deve essere mai sottovalutato. E il caso del sottospazio banale, con molte delle sue implicazioni, deve essere sviscerato nei minimi particolari.
Risposte
Ciao! Era da parecchio che non ci sentivamo! 
Guarda, nel tuo post c'è la domanda, e anche la risposta. Tutto giusto, vai tranquillo.
Io non sono un insegnante però provo ad improvvisarmi tale: contrariamente a quanto tu affermi, ti consiglierei di iniziare a procedere con maggiore sicurezza. Preoccupati un po' meno di sbagliare e un po' più di concretizzare il lavoro che svolgi: ti può essere utile fare degli esercizi, per acquistare confidenza, come quelli che trovi anche su questo stesso sito:
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... a_lineare/ .
Mi sto prendendo questa libertà di consigliarti perché ho l'impressione che abbiamo un tratto caratteriale in comune.
Quando studio, io tendo a riflettere esageratamente su questioni che, in fondo, sono dettagli, e a volte questo mi causa problemi. Ad esempio mi capita di perdere moltissimo tempo e poi di dover recuperare. Oppure mi capita di perdere il filo del discorso in un mare di dettagli.
Vabbé. Ho voluto giocare a fare il professore! Se ritieni che stia dicendo fesserie, probabilmente hai ragione, e quindi puoi ignorare tranquillamente tutta la seconda parte del mio post. A presto!
Guarda, nel tuo post c'è la domanda, e anche la risposta. Tutto giusto, vai tranquillo.
"turtle87":
bisogna sempre andare con i piedi di piombo
Io non sono un insegnante però provo ad improvvisarmi tale: contrariamente a quanto tu affermi, ti consiglierei di iniziare a procedere con maggiore sicurezza. Preoccupati un po' meno di sbagliare e un po' più di concretizzare il lavoro che svolgi: ti può essere utile fare degli esercizi, per acquistare confidenza, come quelli che trovi anche su questo stesso sito:
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... a_lineare/ .
Mi sto prendendo questa libertà di consigliarti perché ho l'impressione che abbiamo un tratto caratteriale in comune.
Quando studio, io tendo a riflettere esageratamente su questioni che, in fondo, sono dettagli, e a volte questo mi causa problemi. Ad esempio mi capita di perdere moltissimo tempo e poi di dover recuperare. Oppure mi capita di perdere il filo del discorso in un mare di dettagli.
Vabbé. Ho voluto giocare a fare il professore! Se ritieni che stia dicendo fesserie, probabilmente hai ragione, e quindi puoi ignorare tranquillamente tutta la seconda parte del mio post. A presto!
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