Sempre su Jordan - decomposizioni -
Mi rimane abbastanza chiara l'eguaglianza di uno spazio principale con la potenza di un nucleo che include tutte quelle di esponente minore: $V_\lambda = ker(\phi - \lambda)sub ... subker(\phi - \lambda)^\nu = N_\lambda$ e riesco ancora a capire l'inizio del completamento a base mediante uno spazio $W_\nu$ tale che: $N_\lambda = ker(\phi - \lambda)^(\nu-1)+W_\nu$. Immagino, cioè, $W_\nu$ come la parte del $ker(\phi - \lambda)^\nu$ non inclusa nei nuclei di potenze decrescenti. Un po' come se si trattasse di cerchi concentrici di superficie sempre decrescenti . . . Tuttavia, la validità di quest'immagine mentale sembra crollare quando, a sua volta, il testo afferma che: "In modo analogo a sopra si può quindi costruire uno spazio $W_(\nu-1)$ (che può anche essere nullo [perché mai? !!!]), tale che:
$ker(\phi - \lambda)^(\nu - 1) = ker(\phi - \lambda)^(\nu - 2) + (\phi - \lambda)(W_\nu)+W_(nu -1)$.
Il seguito implica ulteriori decomposizioni effettuate mediante lo stesso approccio e l'individuazione delle basi di Jordan, ma io mi blocco alla decomposizione che ho posto in evidenza qui sopra in quanto non coincide con la banale "immagine mentale" dei cerchi concentrici che avevo provato a formulare sull'esempio di molti esercizi svolti che, se non sbaglio, possono essere interpretati in questo modo. Qualcuno può aiutarmi spiegandomi il significato di queste decomposizioni che vengono iterate per poter giungere all'individuazione della base di Jordan? Grazie davvero !!!
$ker(\phi - \lambda)^(\nu - 1) = ker(\phi - \lambda)^(\nu - 2) + (\phi - \lambda)(W_\nu)+W_(nu -1)$.
Il seguito implica ulteriori decomposizioni effettuate mediante lo stesso approccio e l'individuazione delle basi di Jordan, ma io mi blocco alla decomposizione che ho posto in evidenza qui sopra in quanto non coincide con la banale "immagine mentale" dei cerchi concentrici che avevo provato a formulare sull'esempio di molti esercizi svolti che, se non sbaglio, possono essere interpretati in questo modo. Qualcuno può aiutarmi spiegandomi il significato di queste decomposizioni che vengono iterate per poter giungere all'individuazione della base di Jordan? Grazie davvero !!!
Risposte
Stai probabilmente cercando di capire la dimostrazione del teorema di struttura per endomorfismi nilpotenti, ma serve un po' più di contesto per capire cosa vuoi sapere...
"megas_archon":
Stai probabilmente cercando di capire la dimostrazione del teorema di struttura per endomorfismi nilpotenti, ma serve un po' più di contesto per capire cosa vuoi sapere...
Innanzitutto, grazie mille della risposta. So fare gli esercizi (più o meno), ma senza avere davvero capito, ciò che sarebbe l'obiettivo di tutti quelli che studiano.
Il teorema che sto studiando è qui definito della "decomposizione secondaria". Come ho riferito, dove vuole andare a parare sembra abbastanza chiaro e, in fondo, si tratta solo di seguire le decomposizioni e le sostituzioni.
Macchinose, ma non difficili - almeno, così mi pare -. Ciò che non riesco proprio a comprendere è l'inizio della dimostrazione, le tre formulette iniziali di decomposizione, da me riportate nel messaggio precedente insieme a quello che era il mio livello di comprensione (evidentemente, semplicistico e sbagliato . . .) . . . .
Di seguito quanto avevo scritto nel mio messaggio precedente:
"SelfLearner":Grazie nuovamente!
Mi rimane abbastanza chiara l'eguaglianza di uno spazio principale con la potenza di un nucleo che include tutte quelle di esponente minore: $ V_\lambda = ker(\phi - \lambda)sub ... subker(\phi - \lambda)^\nu = N_\lambda $ e riesco ancora a capire l'inizio del completamento a base mediante uno spazio $ W_\nu $ tale che: $ N_\lambda = ker(\phi - \lambda)^(\nu-1)+W_\nu $. Immagino, cioè, $ W_\nu $ come la parte del $ ker(\phi - \lambda)^\nu $ non inclusa nei nuclei di potenze decrescenti. Un po' come se si trattasse di cerchi concentrici di superficie sempre decrescenti . . . Tuttavia, la validità di quest'immagine mentale sembra crollare quando, a sua volta, il testo afferma che: "In modo analogo a sopra si può quindi costruire uno spazio $ W_(\nu-1) $ (che può anche essere nullo [perché mai? !!!]), tale che:
$ ker(\phi - \lambda)^(\nu - 1) = ker(\phi - \lambda)^(\nu - 2) + (\phi - \lambda)(W_\nu)+W_(nu -1) $.
Il seguito implica ulteriori decomposizioni effettuate mediante lo stesso approccio e l'individuazione delle basi di Jordan, ma io mi blocco alla decomposizione che ho posto in evidenza qui sopra . . .
Sì, è che proprio non si capisce cosa vuoi sapere. Vuoi dimostrare un enunciato, e una parte della dimostrazione non ti è chiara. Quale, e perché? Il risultato che vuoi è nei pressi, o proprio quello, il teorema 4.3 qui https://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ910pp.pdf
leggilo e confrontalo con qualsiasi testo tu stia seguendo: lo capisci di meno o di più?
leggilo e confrontalo con qualsiasi testo tu stia seguendo: lo capisci di meno o di più?
Grazie per la risposta!
Ho cercato di leggere con attenzione il testo del Cailotto che tratta, evidentemente, dello stesso tipo di decomposizione. Capisco l'inscatolamento delle potenze successive dei nuclei che anche lui riporta, ma poi ritrovo le stesse difficoltà. O simili. Mi sembra di capire il fatto che $V_n(C) = ker\phi^(N-1)\oplusV_N$, che sembrerebbe giustificare una rappresentazione a cerchi concentrici - esemplificazione che ho trovato in altri testi, non me la sono sognata
-e la considerazione di $V_N$ come corona circolare più esterna.
Ma, ad es., non capisco perché $\phi (V')$ debba essere contenuto in $ker\phi^(N-1)$, ma non in $ker\phi^(N-2)$, che sarebbe - per così dire - il cerchio ancora più interno, pur facendo sempre parte di $ker\phi^(N-1)$ . . .
Questo è per me lo scoglio più grosso, che mi toglie la comprensione del testo.
Ho cercato di leggere con attenzione il testo del Cailotto che tratta, evidentemente, dello stesso tipo di decomposizione. Capisco l'inscatolamento delle potenze successive dei nuclei che anche lui riporta, ma poi ritrovo le stesse difficoltà. O simili. Mi sembra di capire il fatto che $V_n(C) = ker\phi^(N-1)\oplusV_N$, che sembrerebbe giustificare una rappresentazione a cerchi concentrici - esemplificazione che ho trovato in altri testi, non me la sono sognata
-e la considerazione di $V_N$ come corona circolare più esterna. Ma, ad es., non capisco perché $\phi (V')$ debba essere contenuto in $ker\phi^(N-1)$, ma non in $ker\phi^(N-2)$, che sarebbe - per così dire - il cerchio ancora più interno, pur facendo sempre parte di $ker\phi^(N-1)$ . . .
Questo è per me lo scoglio più grosso, che mi toglie la comprensione del testo.
\(V_N\) è un complementare di \(\ker \phi^{N-1}\) in \(\ker\phi^N=V\), di cui hai fissato una base \(\mathscr V_N\).
Ora il testo afferma due cose, se \(\mathscr V_N = \{v_1,\dots,v_{s_N}\}\):
(i) \(\phi(\mathscr V_n) = \{\phi v_1,\dots,\phi v_{s_N}\}\le \ker\phi^{N-1} \); questo è vero praticamente per definizione, dato che \(\phi^{N-1}\circ\phi=\phi^N=0\): \[\phi^{N-1}(\phi v_1)=\phi^{N-1}(\phi v_2)=\dots \phi^{N-1}(\phi v_{s_N})=0.\]Tuttavia (ii) \(\phi^{N-2}\) non è sufficiente ad annullare nessuno dei vettori di \(\mathscr V_N\), perché nessun vettore di una base può essere zero, ma allo stesso tempo, se \(\phi^{N-2}(\phi v_i)=\phi^{N-1}v_i=0\) per qualche \(i=1,\dots,s_N\), si avrebbe \(v_i\in\ker \phi^{N-1}\) e \(v_i\ne 0\), cosa impossibile dato che \(\ker\phi^{N-1}\) e \(V_N\) sono in somma diretta per definizione di quest'ultimo.
Ora, venendo alle cose importanti: la geometria è l'arte di fare inferenze corrette a proposito di disegni fuorvianti. Abbandona l'idea che la figura a cerchi concentrici che hai in mente sia più che un ausilio all'immaginazione, e impara a ragionare mediante gli strumenti algebrici dell'algebra lineare.
Se poi vuoi un riferimento che deriva la decomposizione di Jordan in maniera più elegante e meno contosa, puoi ad esempio vedere Grillet VIII.7, dove la decomposizione di Jordan viene fatta derivare dal fatto che uno spazio vettoriale \(V\) equipaggiato di un endomorfismo \(\phi : V\to V\) ammonta precisamente a una struttura di \(k[t]\)-modulo su $V$ (Proposizione 7.1).
Ora il testo afferma due cose, se \(\mathscr V_N = \{v_1,\dots,v_{s_N}\}\):
(i) \(\phi(\mathscr V_n) = \{\phi v_1,\dots,\phi v_{s_N}\}\le \ker\phi^{N-1} \); questo è vero praticamente per definizione, dato che \(\phi^{N-1}\circ\phi=\phi^N=0\): \[\phi^{N-1}(\phi v_1)=\phi^{N-1}(\phi v_2)=\dots \phi^{N-1}(\phi v_{s_N})=0.\]Tuttavia (ii) \(\phi^{N-2}\) non è sufficiente ad annullare nessuno dei vettori di \(\mathscr V_N\), perché nessun vettore di una base può essere zero, ma allo stesso tempo, se \(\phi^{N-2}(\phi v_i)=\phi^{N-1}v_i=0\) per qualche \(i=1,\dots,s_N\), si avrebbe \(v_i\in\ker \phi^{N-1}\) e \(v_i\ne 0\), cosa impossibile dato che \(\ker\phi^{N-1}\) e \(V_N\) sono in somma diretta per definizione di quest'ultimo.
Ora, venendo alle cose importanti: la geometria è l'arte di fare inferenze corrette a proposito di disegni fuorvianti. Abbandona l'idea che la figura a cerchi concentrici che hai in mente sia più che un ausilio all'immaginazione, e impara a ragionare mediante gli strumenti algebrici dell'algebra lineare.
Se poi vuoi un riferimento che deriva la decomposizione di Jordan in maniera più elegante e meno contosa, puoi ad esempio vedere Grillet VIII.7, dove la decomposizione di Jordan viene fatta derivare dal fatto che uno spazio vettoriale \(V\) equipaggiato di un endomorfismo \(\phi : V\to V\) ammonta precisamente a una struttura di \(k[t]\)-modulo su $V$ (Proposizione 7.1).
Ti ringrazio davvero, ma mi rendo conto di non possedere una flessibilità tale per cui un altro testo mi possa davvero aiutare. L'unica chance che ho - almeno, per ora - è provare ad acquisire l'argomento sul testo che ho o lasciar perdere.
Il guaio del testo che ho è che - per il mio livello - dà molte cose per scontate. Se, come ho detto, capisco che $N_\lambda = ker (\phi - \lambda)^(\nu-1)\oplusW_\nu$, potresti aiutarmi chiarendomi perché $ker (\phi - \lambda)^(\nu - 2)$ - e fin qui ci arrivo se penso all'incapsulamento dei nuclei - e $(\phi - \)(W_\nu)$ (ma questo non lo capisco perché, in precedenza, non viene trattato - siano sottospazi di $ker(\phi - \lambda)^(\nu-1)$ né perché sia evidente che, in generale, la loro somma diretta non saturi $ker(\phi - \lambda)^(\nu -1)$ e occorra anche un ulteriore eventuale sottospazio $W_(\nu - 1)$ che, però, potrebbe anche essere nullo. Se tu riuscissi a farmi superare questi ostacoli, penso che potrei acquisire l'autonomia per completare - al mio livello - l'argomento - Jordan. Gli esercizi non sono davvero difficili, solo lunghi, ma anche chi li sa fare molto meglio di me, opera automaticamente, non ha neppure dato un'occhiata alle pagine di teoria che mi sforzo di comprendere.
Se riuscissi a capire bene quanto ho esposto, giungerei a saper affermare che:
$ker (\phi - \lambda)^(\nu-1) = ker (\phi - \lambda)^(\nu - 2)\oplus(\phi - \lambda)(W_\nu)\oplusW_(\nu - 1)$ e da lì in avanti sono solo decomposizioni e sostituzioni per giungere all'identificazione della base di Jordan, se ho capito bene.
Il guaio del testo che ho è che - per il mio livello - dà molte cose per scontate. Se, come ho detto, capisco che $N_\lambda = ker (\phi - \lambda)^(\nu-1)\oplusW_\nu$, potresti aiutarmi chiarendomi perché $ker (\phi - \lambda)^(\nu - 2)$ - e fin qui ci arrivo se penso all'incapsulamento dei nuclei - e $(\phi - \)(W_\nu)$ (ma questo non lo capisco perché, in precedenza, non viene trattato - siano sottospazi di $ker(\phi - \lambda)^(\nu-1)$ né perché sia evidente che, in generale, la loro somma diretta non saturi $ker(\phi - \lambda)^(\nu -1)$ e occorra anche un ulteriore eventuale sottospazio $W_(\nu - 1)$ che, però, potrebbe anche essere nullo. Se tu riuscissi a farmi superare questi ostacoli, penso che potrei acquisire l'autonomia per completare - al mio livello - l'argomento - Jordan. Gli esercizi non sono davvero difficili, solo lunghi, ma anche chi li sa fare molto meglio di me, opera automaticamente, non ha neppure dato un'occhiata alle pagine di teoria che mi sforzo di comprendere.
Se riuscissi a capire bene quanto ho esposto, giungerei a saper affermare che:
$ker (\phi - \lambda)^(\nu-1) = ker (\phi - \lambda)^(\nu - 2)\oplus(\phi - \lambda)(W_\nu)\oplusW_(\nu - 1)$ e da lì in avanti sono solo decomposizioni e sostituzioni per giungere all'identificazione della base di Jordan, se ho capito bene.
Ma te l'ho spiegato! Cosa non capisci della dimostrazione che ti ho ho scritto? L'hai letta?
Ciò che non si capisce nei passaggi del libro di testo che uso è perché ritengo che sia sbagliato. Ho provato a fare due foto (almeno sono certo di riportarlo senza errori, mentre i miei appunti a matita non hanno alcun valore e non ho perso tempo a cancellarli).
Se ho capito bene, quanto il "mio" libro attribuisce - al punto 1) - a $w\in\ker (\phi - \lambda)^(\j)$
sarebbe corretto purché $w$ non appartenga anche a $ker (\phi - \lambda)^(\j-1)$. Infatti, i nuclei delle potenze crescenti del generico nucleo sono tutti inclusi in quelli delle potenze successive e, quindi, il $ker (\phi - \lambda)^(\j$ include anche tutti i nuclei precedenti. Ma senza questa restrizione la strategia di Jordan non sembra funzionare . . .
La precisazione non viene formulata neppure nelle pagine successive e nemmeno quando viene mostrato un sinottico - da me fotografato - che illustra - distribuendo in orizzontale le somme dirette dei componenti di ciascun $ker (\phi - \lambda)^(\p$. Qui usa $p$ anziché $j$, ma il discorso sembra sempre essere lo stesso, a partire dal basso con il $ker (\phi - \lambda)$, che è quello più interno - rappresentato, per altro, mediante il numero maggiore di componenti in somma diretta.
Onestamente, a me servirebbe qualcuno che fosse davvero "motivato" a farmi capire le cose. Suggerirmi testi, evidentemente, non alla mia portata o dirmi che non faccio bene non può aiutarmi. Lo capisco già da solo, ma, non potendo frequentare, non tutto è realisticamente possibile. D'altronde, chi ha già passato l'esame ci ha capito ancora meno di me, è solo più veloce con gli esercizi "standard" (gli altri non prova neppure a farli). La mia intenzione è solo di essere franco, assolutamente non polemico. I "genietti" frequentanti hanno assai meno bisogno di un forum. Infatti, possono anche porre domande dirette ai docenti. Grazie per l'attenzione.
Se ho capito bene, quanto il "mio" libro attribuisce - al punto 1) - a $w\in\ker (\phi - \lambda)^(\j)$
sarebbe corretto purché $w$ non appartenga anche a $ker (\phi - \lambda)^(\j-1)$. Infatti, i nuclei delle potenze crescenti del generico nucleo sono tutti inclusi in quelli delle potenze successive e, quindi, il $ker (\phi - \lambda)^(\j$ include anche tutti i nuclei precedenti. Ma senza questa restrizione la strategia di Jordan non sembra funzionare . . .
La precisazione non viene formulata neppure nelle pagine successive e nemmeno quando viene mostrato un sinottico - da me fotografato - che illustra - distribuendo in orizzontale le somme dirette dei componenti di ciascun $ker (\phi - \lambda)^(\p$. Qui usa $p$ anziché $j$, ma il discorso sembra sempre essere lo stesso, a partire dal basso con il $ker (\phi - \lambda)$, che è quello più interno - rappresentato, per altro, mediante il numero maggiore di componenti in somma diretta.
Onestamente, a me servirebbe qualcuno che fosse davvero "motivato" a farmi capire le cose. Suggerirmi testi, evidentemente, non alla mia portata o dirmi che non faccio bene non può aiutarmi. Lo capisco già da solo, ma, non potendo frequentare, non tutto è realisticamente possibile. D'altronde, chi ha già passato l'esame ci ha capito ancora meno di me, è solo più veloce con gli esercizi "standard" (gli altri non prova neppure a farli). La mia intenzione è solo di essere franco, assolutamente non polemico. I "genietti" frequentanti hanno assai meno bisogno di un forum. Infatti, possono anche porre domande dirette ai docenti. Grazie per l'attenzione.
Ma prova a calcolare la forma canonica di Jordan di \(\displaystyle\begin{pmatrix} -1 & i\\ i & 1\end{pmatrix}\in\mathbb{C}_2^2\).
Onestamente, a me servirebbe qualcuno che fosse davvero "motivato" a farmi capire le coseCosa non ti è chiaro della risposta che hai ricevuto (che ti ho già dato)?
"megas_archon":
\(V_N\) è un complementare di \(\ker \phi^{N-1}\) in \(\ker\phi^N=V\), di cui hai fissato una base \(\mathscr V_N\).
Ora il testo afferma due cose, se \(\mathscr V_N = \{v_1,\dots,v_{s_N}\}\):
(i) \(\phi(\mathscr V_n) = \{\phi v_1,\dots,\phi v_{s_N}\}\le \ker\phi^{N-1} \); questo è vero praticamente per definizione, dato che \(\phi^{N-1}\circ\phi=\phi^N=0\): \[\phi^{N-1}(\phi v_1)=\phi^{N-1}(\phi v_2)=\dots \phi^{N-1}(\phi v_{s_N})=0.\]Tuttavia (ii) \(\phi^{N-2}\) non è sufficiente ad annullare nessuno dei vettori di \(\mathscr V_N\), perché nessun vettore di una base può essere zero, ma allo stesso tempo, se \(\phi^{N-2}(\phi v_i)=\phi^{N-1}v_i=0\) per qualche \(i=1,\dots,s_N\), si avrebbe \(v_i\in\ker \phi^{N-1}\) e \(v_i\ne 0\), cosa impossibile dato che \(\ker\phi^{N-1}\) e \(V_N\) sono in somma diretta per definizione di quest'ultimo.
> "Vorrei tanto sapere che tempo fa..."
> "Piove! Ecco, guarda, se apro la finestra e stendo il braccio, quando lo riporto dentro è bagnato"
> "Oh, se solo esistesse un modo per sapere che tempo fa..."
> "Ma... ti ho risposto: piove!"
> "Me tapino! Come farò a sapere se oggi devo uscire con l'ombrello o meno!"
> "..."
Se il problema è che non capisci cosa c'è scritto, non esiste Cristo sopra o sotto la croce che possa capire le cose in tua vece. Questo risultato tra l'altro (il teorema di struttura per endomorfismi nilpotenti) è una cosa su cui tutti quanti, all'inizio, hanno lasciato sangue, denti e/o pezzetti di endometrio.
Persevera e a un certo punto capirai: la risposta ti è stata letteralmente rigurgitata in bocca qualche messaggio fa.
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