Semplicemente Connesso
vi pongo una domanda che sembrerà banale, ma vorrei avere conferma.
l'insieme dato da ${(x,y): x!=0}$ è un aperto semplicemente connesso???
l'insieme dato da ${(x,y): x!=0}$ è un aperto semplicemente connesso???
Risposte
Non e' nemmeno connesso....
allora non lo è neanche :
${(x,y):y!=0} ???
${(x,y):y!=0} ???
No.
sicuramente mi sbaglierò ma sui miei appunti risulta semplicemente connesso.
Questa è la definizione che ho:A semplicemente connesso:
se per ogni curva regolare a tratti, semplice e chiusa contenuta in A, questa curva è frontiera di un dominio limitato contenuto in A
Questa è la definizione che ho:A semplicemente connesso:
se per ogni curva regolare a tratti, semplice e chiusa contenuta in A, questa curva è frontiera di un dominio limitato contenuto in A
Di solito si chiede anche che $A$ sia connesso per archi. Uno spazio topologico si dice semplicemente connesso se e' connesso per archi e ogni curva chiusa e continua in $A$ e' omotopa a zero (lo spazio non ha buchi).
evidentemente la cosa nel mio corso è semplificata. Però perchè a me è stato detto che quell'insieme è semplicemente connesso?
No, non puo' essere come dici tu, se uno rinunciasse alla connessione non sarebbe piu' vero che una forma chiusa su un semplicemente connesso e' esatta. Controlla meglio i tuoi appunti.
visto che l'hai tirato in ballo. è proprio per quello che mi serve...
ho una forma differenziale che ho verificato essere chiusa:
$y/(x^2)cos(y/x)dx-1/xcos(y/x)dy$
sbaglio o è definita in ${(x,y) : x!=0}$
come posso verificare che è esatta???Non posso usare quel teorema?
ho una forma differenziale che ho verificato essere chiusa:
$y/(x^2)cos(y/x)dx-1/xcos(y/x)dy$
sbaglio o è definita in ${(x,y) : x!=0}$
come posso verificare che è esatta???Non posso usare quel teorema?
beh per $x>0$ è esatta e lo è anche per $x<0$
quindi posso concludere che esatta???
è esatta sui due semipiani.... ma non in generale in quanto come dice bene luca... lo spazio non è connesso
l'esercizio chiede anche di calcolare la primitiva di $omega$ che soddisfi le condizioni $f(1,pi/4)=0$
quindi come la calcololo ? mi setto su entrambi i semipiani???
quindi come la calcololo ? mi setto su entrambi i semipiani???
beh direi di si...
"p4ngm4n":
l'esercizio chiede anche di calcolare la primitiva di $omega$ che soddisfi le condizioni $f(1,pi/4)=0$
quindi come la calcololo ? mi setto su entrambi i semipiani???
Beh visto che hai una condizione da rispettare solo nel semipiano superiore... parti dal punto $(1,pi/4)$ e fai il solito percorso a tratti (rimanendo in tale semipiano)...
non ho capito cos'è questo percorso a tratti; forse è qualcosa che sicuramente so fare,ma non so di preciso a cosa tu ti riferisca.Ti prego di schiarirmi le idee
cmq per trovare una primitiva ho integrato uno dei coefficienti, quello della dy che è + semplice e mi sono trovato $f=-seny/x+g(x)$
Poi vado a sostituire i valori ed impongo il risultato che voglio.
E' Corretto questo procedimento???
grazie
cmq per trovare una primitiva ho integrato uno dei coefficienti, quello della dy che è + semplice e mi sono trovato $f=-seny/x+g(x)$
Poi vado a sostituire i valori ed impongo il risultato che voglio.
E' Corretto questo procedimento???
grazie
Si giusto prima integrai anche rispetto a x e ti ricavi $g(x)$ a meno di una costante, quindi imponi il valore nel punto e ne ricavi la costante.
Il metodo che intendevo io è quello per integrazione lungo una spezzata $x=cost$ e poi $y=cost$, equivale a quello che hai adottato tu.
Il metodo che intendevo io è quello per integrazione lungo una spezzata $x=cost$ e poi $y=cost$, equivale a quello che hai adottato tu.
ok grazie, volendo integrare lungo la spezzata come dici tu! devo integrare la forma differenziale $omega$ però, non la primitiva. e se l'integrale viene 0 allora è una forma esatta. ho capito bene?
dov'è che sbaglio???
No l'integrale viene zero, nel caso di forme esatte, se lo fai su un circuito chiuso. Nel caso della spezzata si tratta di integrare su una curva a L tenendo prima ferma la $y$, poi la $x$, o viceversa e integrando dal punto $(1,\pi/4)$ fino a un generico punto $(x,y)$. E' più o meno quello che hai fatto tu prima...
ok tnx
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