Semplice problema in R^3

[M4rk1]

Salve a tutti ho un esercizio da fare ma purtroppo non ci riesco..anzi non capisco come fare!!!
Insomma... ho due rette e un punto P nello spazio...mi si chiede di trovare una nuova retta parallela alle due date e che contenga il punto P....come si fà?
ho provato creando due piani:
uno che contiene una retta con il punto e l'altro idem...pensavo che l'intersezione tra i due piani fosse la retta cercata e invece no...chi mi aiuta?

[indovina]

Io incomincerei a vedere la natura di queste due rette osservando i loro vettori direttori.
Vedere se sono parallale fra loro o incidenti o sghembe (meno plausibile credo).

[M4rk1]

ma se la retta da cercare deve essere parallela a loro vuo dire che quelle due rette sono parallele...o no???

comunque le rette sono:

$\{(x-y-1=0),(x+z-5=0):}$

$\{(x=1),(z=2):}$

ed il punto è P=(1,-1,-2)

[indovina]

io ho fatto cosi: (salvo errori o ragionamento non buono)

$s$: $x=1$
$y=t$
$z=2$

$r$ $x=1+t$
$y=t$
$z=4-t$

i vettori direttori non sono uguali, e quindi non sono parallele.
possono essere sghembe o al massimo incidenti.

allora vedo il determinante della matrice associata:

$((1,0,0,-1),(0,0,1,-2),(1,-1,0,-1),(1,0,1,-5))$
il determinante mi viene diverso da $0$
risultano quindi essere sghembe, e non c'è piano che le contenga insieme.

[M4rk1]

si hai ragione....quindi la terza retta non può essere parallela ad entrambe....

[mistake89]

sicuramente esiste una retta per $P$ che sia complanare ad entrambe (che è quella che hai trovato tu intersecando i due piani), ma ho dei forti dubbi che esiste una retta parallela ad entrambe.

Ma attendiamo conferma!

[indovina]

Infatti, concordo con mistake, c'è un piano che sia complanare con tutte e due, ma se le rette sono sghembe e hanno quindi vettori direttori diversi, come si fa?

[mistake89]

In realtà pensandoci due minuti si arriva ad una semplice dimostrazione.
La posto, come pratico esercizio.

consideriamo le due rette in $A_n$ $s~(A,u)$ ed $r~(B,v)$ non parallele. Questo vuol dire che $!=$ ovvero $u$ e $v$ non sono proporzionali.
Supponiamo che esista una retta $t$ che sia parallela ad entrambe.

allora $t||rhArrD(t)=D(r)hArrt=lambdau$
ma $t||s$ allora $D(t)=D(s)hArrt=muv$

unendo le due condizioni otteniamo $lambdau=muv$ da cui si ottiene $u=kv$ e ciò è assurdo!

Sperando che non ci siano errori!

[Kociss1]

costruendo la matrice chei coefficienti delle 2 equazioni della prima rettta nelle prime 2 righe e quelli della sceonda retta nella terza e nella quarta riga otteniamo che la matrice ridotta ha rango=4 ,ma togliendo l'ultima colonna(dei termini noti) ha rango =3, allora le rette sono necessariamente sghembe.
i coefficienti direttori delle rette sono (-1,-1,0) e (0,-1,0) ls retta parallela ad r e passante per P ha equazioni: x=1-t, y=-1-t, z=2 la retta parallela ad s e passante per P ha equazione: x=1, y=-1-t, z=2

[indovina]

quindi kociss hai pensato di fare due rette separate, una parallela ad s ed una parallela ad r rispettivamente passanti per P.

Credo che cosi vada risolto no?

P.S
io i vettori direttori mi trovo
r: V=(1,1,-1)
s: V=(0,1,0)

credo che vadano bene lo stesso no?