Semplice intersezione fra sottospazi
Buon anno a tutti i forumisti!
Colgo l'occasione per porvi questo semplice quesito di automatica:
devo calcolare la base dell'intersezione fra due sottospazi:
$ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) nn ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
allora cosa faccio:
calcolo le basi,pongo:
Ab1+Bb2=Cb1+Db2
dove ABCD sono i coefficenti e i vettori b sono i vettori della base...
adesso però c' un intersezione che non riesco a capire:
$ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) nn ( ( 1 , 1 ),( -1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
che diventa:
$ { ( a=c+d),( 0=d),( b=0 ):} $
e considerando come parametri liberi c e d
dovrei avere come basi:
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 0) ) $ e $ ( ( 1 ),( 1 ),( 0) ) $
solo che come soluzione ho un unico vettore :$ ( ( 1 ),( 1 ),( 0) ) $
qualcuno mi sa spiegare perchè sbaglio?
Colgo l'occasione per porvi questo semplice quesito di automatica:
devo calcolare la base dell'intersezione fra due sottospazi:
$ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) nn ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
allora cosa faccio:
calcolo le basi,pongo:
Ab1+Bb2=Cb1+Db2
dove ABCD sono i coefficenti e i vettori b sono i vettori della base...
adesso però c' un intersezione che non riesco a capire:
$ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) nn ( ( 1 , 1 ),( -1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
che diventa:
$ { ( a=c+d),( 0=d),( b=0 ):} $
e considerando come parametri liberi c e d
dovrei avere come basi:
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 0) ) $ e $ ( ( 1 ),( 1 ),( 0) ) $
solo che come soluzione ho un unico vettore :$ ( ( 1 ),( 1 ),( 0) ) $
qualcuno mi sa spiegare perchè sbaglio?
Risposte
Dovresti scrivere meglio il testo. Forse hai i seguenti sottospazi vettoriali:
$H=<(1,1,0),(0,0,1)>$ e $K=<(0,1,0),(0,0,1)>$
A dire il vero si vede ad occhio che $HnnK=<(0,0,1)>$
$H=<(1,1,0),(0,0,1)>$ e $K=<(0,1,0),(0,0,1)>$
A dire il vero si vede ad occhio che $HnnK=<(0,0,1)>$
il problema è sul secondo... sul primo esempio che ho riportato ho illustrato come io avrei risolto l'esercizio. applicando quindi il mio metodo di risoluzione al secondo esempio, i conti non tornano. quindi vorrei sapere se sono io che sbaglio o se sbaglia il testo...
Nel secondo caso
$H=<(1,1,0),(0,0,1)>$ e $K=<(1,-1,0),(1,0,0)>$
Si vede facilmente che $dim(H+K)=3$. La matrice $4x3$ che si costruisce ha rango $3$. Dunque il sottospazio vettoriale intersezione ha dimensione $1$.
Un'equazione cartesiana di $H$ è la seguente: $H={(x,y,z)|x-y=0}$
Un'equazione cartesiana di $K$ è la seguente: $H={(x,y,z)|z=0}$
A questo punto $HnnK={(x,y,z)|x-y=0,z=0}$ e si trova che $HnnK=<(1,1,0)>$
$H=<(1,1,0),(0,0,1)>$ e $K=<(1,-1,0),(1,0,0)>$
Si vede facilmente che $dim(H+K)=3$. La matrice $4x3$ che si costruisce ha rango $3$. Dunque il sottospazio vettoriale intersezione ha dimensione $1$.
Un'equazione cartesiana di $H$ è la seguente: $H={(x,y,z)|x-y=0}$
Un'equazione cartesiana di $K$ è la seguente: $H={(x,y,z)|z=0}$
A questo punto $HnnK={(x,y,z)|x-y=0,z=0}$ e si trova che $HnnK=<(1,1,0)>$
Molte grazie per la risposta... grazie anche per la disponibilità alla fine dell'anno... 
La spiegazione è comprensibile ma poichè algebra lineare lho data parecchio tempo fa dovrò riguardarmi un attimo la teoria.
Ho solo una domanda, il procedimento che stavo utilizzando è errato oppure lo posso utilizzare per calcolarmi le basi dello spazio....
effettivamente la conferma grazie al th di grassman è utile e infatti non riuscivo a capire per quale motivo mi venissero 2 vettori.... ma perchè sbaglio nel calcolare con l'utilizzo dei parametri?
grazie ancora!
La spiegazione è comprensibile ma poichè algebra lineare lho data parecchio tempo fa dovrò riguardarmi un attimo la teoria.
Ho solo una domanda, il procedimento che stavo utilizzando è errato oppure lo posso utilizzare per calcolarmi le basi dello spazio....
effettivamente la conferma grazie al th di grassman è utile e infatti non riuscivo a capire per quale motivo mi venissero 2 vettori.... ma perchè sbaglio nel calcolare con l'utilizzo dei parametri?
grazie ancora!
$H=<(1,1,0),(0,0,1)>$ e $K=<(1,-1,0),(1,0,0)>$
Il generico vettore di $H$ è del tipo $a(1,1,0)+b(0,0,1)=(a,a,b)$.
Il generico vettore di $K$ è del tipo $c(1,-1,0)+d(1,0,0)=(c+d,-c,0)$.
A questo punto devi imporre le uguaglianze:
$\{(a=c+d),(a=-c),(b=0):}iff\{(a=-c),(b=0),(d=-2c):}$
$S={(-c,0,c,-2c)|cinRR}$. Così facendo si ottiene:
i vettori di $H$ sono del tipo $(-c,-c,0)$
i vettori di $K$ sono del tipo $(-c,-c,0)$
Come si può notare lo stesso risultato.
Il generico vettore di $H$ è del tipo $a(1,1,0)+b(0,0,1)=(a,a,b)$.
Il generico vettore di $K$ è del tipo $c(1,-1,0)+d(1,0,0)=(c+d,-c,0)$.
A questo punto devi imporre le uguaglianze:
$\{(a=c+d),(a=-c),(b=0):}iff\{(a=-c),(b=0),(d=-2c):}$
$S={(-c,0,c,-2c)|cinRR}$. Così facendo si ottiene:
i vettori di $H$ sono del tipo $(-c,-c,0)$
i vettori di $K$ sono del tipo $(-c,-c,0)$
Come si può notare lo stesso risultato.
grazie!! infinite!!! e tanti auguri di buon anno!
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