Semplice esercizio sull'immagine di una applicazione
Salve a tutti, è da tempo che consulto questo forum da utente non registrato e devo dire che fin'ora mi ha risolto diversi problemi. Oggi ho deciso finalmente di registrarmi! Il quesito che vorrei porvi è la risoluzione di questo semplice esercizio che in linea teorica dovrei saper risolvere ma che in pratica non riesco nemmeno a iniziare.
Esercizio : Trovare la dimensione di ImT dove
T(ai + bj + ck) = (a − b − c)i + (a − b + c)j + (a + b + c)k
dove i, j e k sono dei vettori
La mia idea sarebbe quella di trovare la matrice associata all'applicazione T e successivamente trovare il rango di questa, che corrispondendo al numero di colonne linearmente indipendenti, mi darebbe la dimensione dell'immagine di T. Giusto?
Il problema è che non so come fare a trovare la matrice associata!
Spero che mi possiate aiutare, grazie in anticipo!
Esercizio : Trovare la dimensione di ImT dove
T(ai + bj + ck) = (a − b − c)i + (a − b + c)j + (a + b + c)k
dove i, j e k sono dei vettori
La mia idea sarebbe quella di trovare la matrice associata all'applicazione T e successivamente trovare il rango di questa, che corrispondendo al numero di colonne linearmente indipendenti, mi darebbe la dimensione dell'immagine di T. Giusto?
Il problema è che non so come fare a trovare la matrice associata!
Spero che mi possiate aiutare, grazie in anticipo!
Risposte
Benvenut* come utente registrat*;
suppongo che \(T\) sia un'applicazione lineare di \(\mathbb{R}^3\) in sé (e che tu l'abbia dimostrato). Secondo la tua notazione chi è una base?
suppongo che \(T\) sia un'applicazione lineare di \(\mathbb{R}^3\) in sé (e che tu l'abbia dimostrato). Secondo la tua notazione chi è una base?
Io suppongo che il professore intenda che i,j,k siano una base ortonormale di $R^3$ . Tuttavia questo non è esplicitato nel testo dell'esercizio. In aula non abbiamo mai fatto esercizi del genere con i,j,k.
Immagino che i=(1,0,0) , j=(0,1,0) ,k=(0,0,1)
Immagino che i=(1,0,0) , j=(0,1,0) ,k=(0,0,1)
Francamente non ce ne frega nulla delle basi ortonormali in questo esercizio!
In effetti il docente pone come base (astratta) di \(\mathbb{R}^3\) l'insieme \(\{i;j;k\}\).
Per costruire la matrice associata a \(T\) rispetto a tale base, devi preliminarmente calcolare le immagini della data base; indi ciò: chi sono?
In effetti il docente pone come base (astratta) di \(\mathbb{R}^3\) l'insieme \(\{i;j;k\}\).
Per costruire la matrice associata a \(T\) rispetto a tale base, devi preliminarmente calcolare le immagini della data base; indi ciò: chi sono?
Ok, da bravo rintontito mi ero fatto fregare dalla scrittura del testo dell'esercizio; è bastato svoglere i prodotti e raccogliere gli a,b e c per avere tutto più chiaro:
L'applicazione diventa quindi così
T(ai+bj+ck)=a(i+j+k)+b(-i-j+k)+c(-i+j+k)
E le basi vengono trasformati nel seguente modo:
T(i)=i+j+k
T(j)=-i-j+k
T(k)=-i+j+k
In questo caso si vede anche ad occhio che essendo linearmente indipendenti, la dimensione dell'immagine è 3! Spero di aver fatto bene..
L'applicazione diventa quindi così
T(ai+bj+ck)=a(i+j+k)+b(-i-j+k)+c(-i+j+k)
E le basi vengono trasformati nel seguente modo:
T(i)=i+j+k
T(j)=-i-j+k
T(k)=-i+j+k
In questo caso si vede anche ad occhio che essendo linearmente indipendenti, la dimensione dell'immagine è 3! Spero di aver fatto bene..
Per def, la dimensione del rango della tua matrice di partenza è = alla dimensione dell'Immagine, quindi vedi subito se è fatta bene...
Tutto bene Zeran23 e starsuper! 
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