Semplice connessione
Salve,
Qualcuno sa darmi una mano con questa proposizione:
Sia $A \subset \mathbb{C}$ aperto connesso, sono fatti equivalenti:
1. $A$ semplicemente connesso
2. Ogni mappa continua $f:S^1->A$ si estende a mappa continua $\bar{f}:D^1->A$
Qualcuno sa darmi una mano con questa proposizione:
Sia $A \subset \mathbb{C}$ aperto connesso, sono fatti equivalenti:
1. $A$ semplicemente connesso
2. Ogni mappa continua $f:S^1->A$ si estende a mappa continua $\bar{f}:D^1->A$
Risposte
Cosa hai provato?
Mi è venuto in mente qualcosa per 1.=>2.
Noi abbiamo già definito $f(e^{i\theta})=\gamma(\theta)$ per $\theta in [0, 2\pi]$, che è un cammino in $A$.
Prendiamo $p=\gamma(0)$ e sia $F$ una omotopia tra $\gamma(\theta)$ e $k_p(\theta)$ cammino costante (vale sempre $p$).
Quindi $F:[0,1]\times[0,2\pi]->A$
$F(1,\theta)=\gamma(\theta) " " F(0,\theta)=k_p(\theta)" " F(\rho,0)=F(\rho,2\pi)=p$
Ora definisco $bar{f}(\rho e^{i\theta})=F(\rho, \theta)$ e questa funziona.
Corretto?
Noi abbiamo già definito $f(e^{i\theta})=\gamma(\theta)$ per $\theta in [0, 2\pi]$, che è un cammino in $A$.
Prendiamo $p=\gamma(0)$ e sia $F$ una omotopia tra $\gamma(\theta)$ e $k_p(\theta)$ cammino costante (vale sempre $p$).
Quindi $F:[0,1]\times[0,2\pi]->A$
$F(1,\theta)=\gamma(\theta) " " F(0,\theta)=k_p(\theta)" " F(\rho,0)=F(\rho,2\pi)=p$
Ora definisco $bar{f}(\rho e^{i\theta})=F(\rho, \theta)$ e questa funziona.
Corretto?
Ok forse adesso ho qualcosa anche per 2.=>1.
Prendiamo in $A$ un cammino chiuso $\gamma$.
Posso sempre immaginarlo parametrizzato come $\gamma:[0,2\pi]->A$.
Definisco $f(e^{i\theta})=\gamma(\theta)$.
Per ipotesi ho $\bar{f}:D^1->A$ che estende $f$ al disco.
Ma allora $F(\rho,\theta)=f(\rho e^{i\theta})$ è omotopia tra $f(0)$ e $\gamma$.
Quindi $\gamma$ è omotopo a un cammino costante (però non sto fissando il punto base con questa omotopia, cosa che mi piacerebbe fare).
Siccome posso fare ciò per ogni cammino in $A$, questo è semplicemente connesso.
Prendiamo in $A$ un cammino chiuso $\gamma$.
Posso sempre immaginarlo parametrizzato come $\gamma:[0,2\pi]->A$.
Definisco $f(e^{i\theta})=\gamma(\theta)$.
Per ipotesi ho $\bar{f}:D^1->A$ che estende $f$ al disco.
Ma allora $F(\rho,\theta)=f(\rho e^{i\theta})$ è omotopia tra $f(0)$ e $\gamma$.
Quindi $\gamma$ è omotopo a un cammino costante (però non sto fissando il punto base con questa omotopia, cosa che mi piacerebbe fare).
Siccome posso fare ciò per ogni cammino in $A$, questo è semplicemente connesso.
"otta96":
Cosa hai provato?
Tutto giusto.
"jinsang":
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