Semicontinuità inferiore e superiore

[hubabuba]

Salve a tutti.
Avrei un esercizio da proporre che ha a che fare con la semicontinuità superiore ed inferiore.

Abbiamo l'applicazione $g(x)=1\ se\ x\ \geq \ 0\ ; e\ g(x)=x\ se\ x<0$.
a) Provare che l'applicazione $g$ definita come sopra e continua se $g:\ (R,\ \epsilon)\rightarrow (R,\ S_s)$ dove con $\epsilon$ abbiamo la topologia euclidea e invece con $S_s$ la topologia della semicontinuità superiore.
b) Provare che l'applicazione $g$ definita come sopra e continua se $g:\ (R,\ \epsilon)\rightarrow (R,\ S_i)$ dove con $\epsilon$ abbiamo la topologia euclidea e invece con $S_i$ la topologia della semicontinuità inferiore.

La mia soluzione è:
a) Se prendo un aperto in $(R,\ S_s)$ di sicura avrà la forma $(-\infty ,\ a)$ dove in generale $a\in \ R \cup {+\infty }$, ma nel nostro caso $a\leq 1$. Se vediamo $g^{-1}((-\infty,\ a))=(-\infty ,\ 0)$, che è anche questo un aperto. Perciò $g$ sarà continua in questo caso.
b) Nel secondo caso invece gli aperti hanno la forma $(a,\ +\infty)$. (E qui che adesso arriva il mio dubbio). Ma $g^{-1}$ non è definito in aperti di questo tipo (per esempio se $a>1$), perciò $g$ sarà discontinua nel secondo caso.