Semi cono: varieta' differenziabile ?
Ciao a tutti,
sono nuovo del forum. Ho un dubbio sull'applicazione della definizione di varieta' differenziabile ad un semi cono (cono ad una sola falda con vertice V). Mi sembra sia possibile ricoprire l'intero semi cono (pensato immerso in R3) con una sola carta che definisce un omeomorfismo tra l'intero semi cono ed un disco in R2. La definizione di varieta' topologica mi sembra quindi applicabile.
Per quanto riguarda la definizione di varieta' differenziablie nel caso in esame esiste un atlante costituito da una sola carta che quindi risulta di qualsivoglia classe. Considerando gli atlanti compatibili a questo, diciamo per es. di classe C infinito, si viene a determinare una partizione dell'insieme degli atlanti sul semi cono in classi di equivalenza. L'insieme massimale per ciascuna classe di equivalenza individua una struttura differenziabile per la varieta'.
In altre parole mi sembra sia possibile dotare il semi cono (con vertice) di una struttura di varieta' differenziabile anche se non e' certo una superficie regolare (non esiste il piano tangente nel vertice).
C'e' qualche punto sbagliato nel ragionamento ?
Grazie.
sono nuovo del forum. Ho un dubbio sull'applicazione della definizione di varieta' differenziabile ad un semi cono (cono ad una sola falda con vertice V). Mi sembra sia possibile ricoprire l'intero semi cono (pensato immerso in R3) con una sola carta che definisce un omeomorfismo tra l'intero semi cono ed un disco in R2. La definizione di varieta' topologica mi sembra quindi applicabile.
Per quanto riguarda la definizione di varieta' differenziablie nel caso in esame esiste un atlante costituito da una sola carta che quindi risulta di qualsivoglia classe. Considerando gli atlanti compatibili a questo, diciamo per es. di classe C infinito, si viene a determinare una partizione dell'insieme degli atlanti sul semi cono in classi di equivalenza. L'insieme massimale per ciascuna classe di equivalenza individua una struttura differenziabile per la varieta'.
In altre parole mi sembra sia possibile dotare il semi cono (con vertice) di una struttura di varieta' differenziabile anche se non e' certo una superficie regolare (non esiste il piano tangente nel vertice).
C'e' qualche punto sbagliato nel ragionamento ?
Grazie.
Risposte
In questo caso credo che la nozione di compatibila impedisca di definire una struttura differenziabile sul vertice, in quanto appunto lo spazio tangente non si può definire in quel punto. Difatti sarebbe una varietà differenziabile soltanto omettendo tale punto. Ma non ho idea di come fare per vederlo.
Grazie per la risposta pat87.....
In ogni caso, se non ho capito male, la nozione di compatibilità fra atlanti, in qualita' di relazione di equivalenza, partiziona l'insieme degli atlanti di una varieta' in classi di equivalenza. Ciascuna di esse definisce una struttura differenziabile per la varieta' stessa.
L'atlante in questione (costituito da una sola carta mediante l'omeomorfismo con il disco di $R^2$) e' di classe $C$ infinito e fa parte di una classe di equivalenza definendo pertanto una particolare struttura differenziabile.
Sembrerebbe cioe' che dal punto di vista "intrinseco" il semicono e' effettivamente varieta' differenziabile. Che ne pensate ?
In ogni caso, se non ho capito male, la nozione di compatibilità fra atlanti, in qualita' di relazione di equivalenza, partiziona l'insieme degli atlanti di una varieta' in classi di equivalenza. Ciascuna di esse definisce una struttura differenziabile per la varieta' stessa.
L'atlante in questione (costituito da una sola carta mediante l'omeomorfismo con il disco di $R^2$) e' di classe $C$ infinito e fa parte di una classe di equivalenza definendo pertanto una particolare struttura differenziabile.
Sembrerebbe cioe' che dal punto di vista "intrinseco" il semicono e' effettivamente varieta' differenziabile. Che ne pensate ?
Ecco forse la pecca sta nel fatto che non puoi trovare una funzione C infinito dal cono al disco aperto, puoi trovare un omeomorfismo ma non un diffeomorfismo. Il problema secondo me sta qui.
Quindi e' possibile dotare il semi-cono di una struttura differenziale (anche se non esiste un diffeomorfismo tra il disco $R^2$ ed il semi-cono) ?
Ho trovato in rete sul tema questo link http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=693114
Ho trovato in rete sul tema questo link http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=693114
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