Segni pivot = segni autovalori
Ciao, amici! Trovo su Algebra lineare di Gilbert Strang che il numero di pivot rispettivamente positivi, negativi e nulli di una matrice simmetrica coincide con il numero di autovalori rispettivamente positivi, negativi e nulli, ma l'autore spiega il motivo di questo fatto utilizzando la scomposizione $LU$ unica di una matrice simmetrica invertibile $A$ che, applicando l'eliminazione gaussiana, si fattorizza in $A=LU=LDL^\text{T}$ dove $D$ è la matrice dei pivot che rimangono sulla diagonale principale di $U$ al termine del processo di eliminazione.
Ho passato la giornata di ieri a cercare di dimostrare a me stesso come il numero di pivot rispettivamente positivi, negativi e nulli di una matrice simmetrica non necessariamente invertibile (che è quindi fattorizzabile* non in maniera unica come \(PA=LU\) cioè \(A=P^\text{T}LU\)) coincide con il numero di autovalori rispettivamente positivi, negativi e nulli, ma non sono giunto a nulla e nulla ho trovato su Internet: nonostante questo fatto sembri straconosciuto e citato ovunque, non trovo da nessuna parte una dimostrazione...
So per esempio che il numero di autovalori rispettivamente positivi, negativi e nulli di una generica matrice simmetrica coincide con quello di una matrice congruente ad essa, ma non mi è chiaro se e come si possa utilizzare questo fatto in questo caso...
Qualcuno saprebbe dove trovarla o eventualmente parlarne direttamente qui?
$+\infty$ grazie a tutti!!!
*$P$ è la matrice di permutazione che, per esempio, ci permette di non rimanere, quando sottraiamo multipli della riga $i$ da quelle sottostanti durante l'eliminazione, con uno 0 al posto $i+1,i+1$ mentre più in basso nella colonna $i+1$ c'è almeno un coefficiente non nullo; $L$ è l'unitriangolare bassa con i moltiplicatori utilizzati per sottrarre \((L)_{ij}\) volte la riga $j$ dalla riga $i$ di $PA$; $U$ è la triangolare alta con i pivot sulla diagonale principale.
Ho passato la giornata di ieri a cercare di dimostrare a me stesso come il numero di pivot rispettivamente positivi, negativi e nulli di una matrice simmetrica non necessariamente invertibile (che è quindi fattorizzabile* non in maniera unica come \(PA=LU\) cioè \(A=P^\text{T}LU\)) coincide con il numero di autovalori rispettivamente positivi, negativi e nulli, ma non sono giunto a nulla e nulla ho trovato su Internet: nonostante questo fatto sembri straconosciuto e citato ovunque, non trovo da nessuna parte una dimostrazione...
So per esempio che il numero di autovalori rispettivamente positivi, negativi e nulli di una generica matrice simmetrica coincide con quello di una matrice congruente ad essa, ma non mi è chiaro se e come si possa utilizzare questo fatto in questo caso...
Qualcuno saprebbe dove trovarla o eventualmente parlarne direttamente qui?
$+\infty$ grazie a tutti!!!
*$P$ è la matrice di permutazione che, per esempio, ci permette di non rimanere, quando sottraiamo multipli della riga $i$ da quelle sottostanti durante l'eliminazione, con uno 0 al posto $i+1,i+1$ mentre più in basso nella colonna $i+1$ c'è almeno un coefficiente non nullo; $L$ è l'unitriangolare bassa con i moltiplicatori utilizzati per sottrarre \((L)_{ij}\) volte la riga $j$ dalla riga $i$ di $PA$; $U$ è la triangolare alta con i pivot sulla diagonale principale.
Risposte
Sto cominciando a dubitare che l'asserto valga davvero (lo Strang tratta un po' i suoi lettori come se fosse per loro più facile capire le cose senza un linguaggio matematico formalmente rigoroso e inequivocabile 
) se $A$ non è fattorizzabile in forma $A=LU$ -ma solo $PA=LU$ con \(P\ne I\) permutazione non banale-, cioè se l'algoritmo di eliminazione gaussiana necessita di scambi di riga.
Lo Strang lo dimostra (p. 336-337) solo in quel caso (e non credo lo faccia perché la generalizzazione, sempre che sia possibile, sia particolarmente semplice...
) e comincio a pensare che possa non valere se bisogna permutare le righe di $A$ per avere $U$ con tutti i suoi pivot sulla diagonale principale...
Qualcuno sa qualcosa di più?
$+oo$ grazie a tutti!!!!!
) se $A$ non è fattorizzabile in forma $A=LU$ -ma solo $PA=LU$ con \(P\ne I\) permutazione non banale-, cioè se l'algoritmo di eliminazione gaussiana necessita di scambi di riga.Lo Strang lo dimostra (p. 336-337) solo in quel caso (e non credo lo faccia perché la generalizzazione, sempre che sia possibile, sia particolarmente semplice...
) e comincio a pensare che possa non valere se bisogna permutare le righe di $A$ per avere $U$ con tutti i suoi pivot sulla diagonale principale...Qualcuno sa qualcosa di più?
$+oo$ grazie a tutti!!!!!
Dopo vari giorni di riflessione sono arrivato a due conclusioni, cioè che, indipendentemente dall'invertibilità di $A$, se l'algoritmo gaussiano di eliminazione ci porta a \(A=LU\) senza permutazioni (non banali, intendo ovviamente), per il fatto che matrici congruenti hanno lo stesso numero di autovalori positivi, negativi e nulli (secondo la formulazione della legge di Sylvester riportata dallo Strang), \(A=LU=LU (L^\text{T})^{-1} L^\text{T}\) ha lo stesso numero di autovalori positivi, negativi e nulli di \(U (L^\text{T})^{-1}\) che, essendo prodotto di una matrice $U$ triangolare superiore e \((L^\text{T})^{-1}\) unitriangolare superiore, ha la diagonale principale identica a quella di $U$, che ha su di essa proprio gli autovalori, che sono i nostri pivot, per cui l'asserto oggetto del post vale.
Sono però arrivato anche alla conclusione che, se invece il processo di eliminazione gaussiana richiede, per ottenere i pivot sulla diagonale principale di $U$, scambi di riga, come il determinante non rimane in generale uguale se si moltiplica una matrice per una matrice di permutazione $P$, analogamente -ho avuto quest'idea stamattina- direi proprio che il numero degli autovalori rispettivamente positivi, negativi e nulli di $A$ non coincida necessariamente con il numero dei pivot rispettivamente positivi, negativi e nulli che troviamo al termine del processo di eliminazione sulla diagonale principale di $U=L^{-1}PA$ con \(P\ne I\).
Giusto?
Grazie di cuore a chiunque vorrà aiutarmi a farmi passare l'emicrania...!
Sono però arrivato anche alla conclusione che, se invece il processo di eliminazione gaussiana richiede, per ottenere i pivot sulla diagonale principale di $U$, scambi di riga, come il determinante non rimane in generale uguale se si moltiplica una matrice per una matrice di permutazione $P$, analogamente -ho avuto quest'idea stamattina- direi proprio che il numero degli autovalori rispettivamente positivi, negativi e nulli di $A$ non coincida necessariamente con il numero dei pivot rispettivamente positivi, negativi e nulli che troviamo al termine del processo di eliminazione sulla diagonale principale di $U=L^{-1}PA$ con \(P\ne I\).
Giusto?
Grazie di cuore a chiunque vorrà aiutarmi a farmi passare l'emicrania...!
Dovevo prendere meno alla lettera il testo -dopotutto mi sono accorto che, nonostante lo Strang presenti interessantissime applicazioni e un repertorio di esercizi che a me è stato di enorme importanza per impratichirmi con la risoluzione di problemi legati all'algebra lineare, in quanto a precisione espositiva e rigore formale lascia un pochettino a desiderare- e cercare un controesempio subito:\[A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\]è chiaramente indefinita (ha per autovalori $\lambda=±1$) ma la fattorizzazione $PA=LU$ con uno scambio di riga e $L=I$ porta a due pivot positivi.
Altro controesempio: $-A$, sempre indefinita, avrebbe invece due pivot negativi...
Altro controesempio: $-A$, sempre indefinita, avrebbe invece due pivot negativi...
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