Segnatura di una matrice
Ho un dubbio sul procedimento usato dalla mia prof per calcolare la segnatura di una matrice. La riporto.
$((1,1,3),(1,2,5),(3,5,-1))$
L'indice di positività è il massimo della dimensione di un sottospazio in cui il prodotto scalare ristretto a quel sottospazio è definito positivo. Mi si dice di prendere la sottomatrice
$((1,1),(1,2))$
E il ragionamento che non mi quadra è il seguente: il determinante è 1, e quindi $i_+\geq 2$.
Ho pensato che il ragionamento voluto sia "poichè il determinante è positivo e il segno del determinante è invariante per congruenza, abbiamo che quella sottomatrice è congruente a $((1,0),(0,1))$ per il teorema di Sylvester, e quindi è definito positivo.
Questo ragionamento però deve avere una pecca, perchè in questo modo sembro dire che qualsiasi matrice con determinante positivo rappresenta un prodotto scalare definito positivo, il che è inesatto, come potrei mostrare facilmente con un controesempio.
Allora da cosa posso concludere che $((1,1),(1,2))$ è definito positivo?
$((1,1,3),(1,2,5),(3,5,-1))$
L'indice di positività è il massimo della dimensione di un sottospazio in cui il prodotto scalare ristretto a quel sottospazio è definito positivo. Mi si dice di prendere la sottomatrice
$((1,1),(1,2))$
E il ragionamento che non mi quadra è il seguente: il determinante è 1, e quindi $i_+\geq 2$.
Ho pensato che il ragionamento voluto sia "poichè il determinante è positivo e il segno del determinante è invariante per congruenza, abbiamo che quella sottomatrice è congruente a $((1,0),(0,1))$ per il teorema di Sylvester, e quindi è definito positivo.
Questo ragionamento però deve avere una pecca, perchè in questo modo sembro dire che qualsiasi matrice con determinante positivo rappresenta un prodotto scalare definito positivo, il che è inesatto, come potrei mostrare facilmente con un controesempio.
Allora da cosa posso concludere che $((1,1),(1,2))$ è definito positivo?
Risposte
Up
Dal criterio di Jacobi. Devi controllare i minori principali di testa, che qui sono \(1\) e \(\det\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}=1\).
Il criterio di Jacobi non è stato dimostrato in quel punto...non ci sono altri trucchi?
Per esempio, se affianchiamo al segno del determinante una qualche altra cosa, si può determinare il segno del prodotto scalare?
Per esempio, se affianchiamo al segno del determinante una qualche altra cosa, si può determinare il segno del prodotto scalare?
Vabbè ma in questo caso è facile. Siccome il determinante è \(+1\), gli autovalori possono essere tutti e due \(+1\) oppure tutti e due \(-1\). Ma quest'ultima eventualità non è possibile: se così fosse, la matrice dovrebbe essere definita negativa e però il sandwich
\[\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]
vale \(+1\). Se la matrice fosse definita negativa esso dovrebbe essere negativo.
\[\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]
vale \(+1\). Se la matrice fosse definita negativa esso dovrebbe essere negativo.
Ok Grazie!
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