Segnatura delle forme quadratiche

[walter.ruggeri.3]

Buonasera
Svolgendo degli esercizi sulle forme quadratiche (tratti dalle slide usate dal professore durante le esercitazioni), mi sono imbattuto nel seguente quesito:

Data la matrice $ A = ( ( 4 , 5 ),( 5 , 4 ) ) $, dire se esiste un vettore $ x in R^2 $ tale che $ x^tAx < 0 $.

Naturalmente, ho subito associato il quesito all'esistenza di una forma quadratica definita negativa e rappresentata dalla matrice assegnata; dunque, ho determinato la sua segnatura tramite la regola di Cartesio, e (visto che il $p_A(\lambda)$ della matrice presenta una sola variazione di segno) l'ho trovata indefinita. Pertanto, non corrispondendo la matrice ad alcuna forma quadrata definita negativa, ho ritenuto che dunque dunque la condizione richiesta non fosse verificata per alcun vettore $ x in R^2 $.

Ebbene, la soluzione proposta sulle slide è invece la seguente:

2 radici non nulle, di cui 1 positiva e 1 negativa. Pertanto questa A può soddisfare la condizione.

Mi chiedo: c'è un errore nelle slide, oppure il mio ragionamento è inesatto?

[Pappappero1]

Si sta parlando di due cose diverse.

Tu ti stai chiedendo se la tua forma quadratica $A$ e' definita negativa, e hai giustamente concluso che non lo e'. Essere definita negativa significa che per ogni vettore $x$ si ha $x^t A x <0$. Il problema chiede se e' verificata una condizione molto piu' debole, ovvero se esiste un vettore $x$ tale che $x^tAx < 0$ (ma magari per qualche altro vettore $y$ la diseguaglianza non vale).

In particolare, in questo caso si avra' che l'autovettore $x$ corrispondente all'autovalore negativo di $A$ verifica $x^t A x < 0$. D'altra parte tanti altri vettori non verificano la diseguaglianza: ad esempio se $y$ e' l'autovettore corrispondente all'autovalore positivo di $A$ si avra' $y^tAy > 0$.