Seconda parte esercizi di esame
Ancora ciao 
Questo è il secondo esercizio:
1)per quali valori di h il sistema di vettori: $ B_h=(u_h=(2.-1,h+1),v_h=(1-h,-4.0),w=(0,1,0)) $
è una base ordinata di R^3
2)nel caso in cui h=0 determinare le coordinate nella base B_0 del vettore s che nella base si esprime nel seguente modo
$ s=3e_1+2e_2-e_3 $
!) svolgimento: la matrice associata è $ ( ( 2 , -1 , h+1 ),( 1-h , -4 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ affinchè sia una base di R^3 deve essere il determinate diverso da zero, ciò si verifica se $ hne0;1 $
2) trovo la matrice di cambiamento di base dalla base canonica a B_0 , essa è l'inversa di quella di B_0 che conosco, quindi calcolando l'inversa ottengo
$ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 4 , 1 , 7 ) ) $
per ottenere il vettore espresso nella base B_0 basta moltiplicare tale matrice per il vettore colonna dato per ipotesi: ottenendo $ (-1,5,7) $
Secondo esercizio:determinare, se possibile, un piano $ pi $ ortogonale alla retta r: $ { ( x=1+t ),( y=4 ),(z=-t ):} tinR $
ed appartenente al fascio di piano : $ pi_1:x+3z-1=0 $ $ pi_2;{ ( x=1-3t-6s ),( y=-5+2t+3s ),( z=2+t+2s ):} $
Svolgimento:
il vettore direzionale della retta è anche quello del piano esso è $ (1,0,-1) $
l' equazione del fascio di piani è: $ h(x+3z-1)+k(x+3z-7)=0 $ il cui generico vettore direzionale è $ (h+k,3h+3k,-h-7k) $
QUindi si tratta di vedere se esistono le soluzioni del sistema:
$ { ( h+k=1),( 3h+3k=0 ),( -h-7k=-1 ):} $ che non ha soluzioni, quindi il piano non esiste
2)Qual'è il vettore normale del generico piano appartenete al fascio?
Risposta è quello che ho trovato prima cioè: (h+k,3h+3k,-h-7k)
Terzo esercizio)
Si consideri la conica definita in coordinate omogenee mediante l'equzione:
$ f_h(x,x)=-2x_1^2+hx_2^2+x_3^2+5x_2x_3+2(h-1)x_1x_2=0 $ classificarla al variare di h
Svolgimento:
la matrice associata è: $ ( ( -2 , h-1 , 0 ),( h-1 , h , 5/2 ),( 0 , 5/2 , 1 ) ) $
il determinate è diverso da zero, e quindi la conica è non degenere per $ hne(2+-sqrt(18))/2 $ ,
per i valori in cui si annulla invece è degenere in particolare in entrambi i casi è semplicemente degenere.
per quanto riguarda i valori per cui la conica è non degenere si ha che la conica è un Iperbole per ogni h per cui è non degenere
Questo è il secondo esercizio:
1)per quali valori di h il sistema di vettori: $ B_h=(u_h=(2.-1,h+1),v_h=(1-h,-4.0),w=(0,1,0)) $
è una base ordinata di R^3
2)nel caso in cui h=0 determinare le coordinate nella base B_0 del vettore s che nella base si esprime nel seguente modo
$ s=3e_1+2e_2-e_3 $
!) svolgimento: la matrice associata è $ ( ( 2 , -1 , h+1 ),( 1-h , -4 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ affinchè sia una base di R^3 deve essere il determinate diverso da zero, ciò si verifica se $ hne0;1 $
2) trovo la matrice di cambiamento di base dalla base canonica a B_0 , essa è l'inversa di quella di B_0 che conosco, quindi calcolando l'inversa ottengo
$ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , -2 ),( 4 , 1 , 7 ) ) $
per ottenere il vettore espresso nella base B_0 basta moltiplicare tale matrice per il vettore colonna dato per ipotesi: ottenendo $ (-1,5,7) $
Secondo esercizio:determinare, se possibile, un piano $ pi $ ortogonale alla retta r: $ { ( x=1+t ),( y=4 ),(z=-t ):} tinR $
ed appartenente al fascio di piano : $ pi_1:x+3z-1=0 $ $ pi_2;{ ( x=1-3t-6s ),( y=-5+2t+3s ),( z=2+t+2s ):} $
Svolgimento:
il vettore direzionale della retta è anche quello del piano esso è $ (1,0,-1) $
l' equazione del fascio di piani è: $ h(x+3z-1)+k(x+3z-7)=0 $ il cui generico vettore direzionale è $ (h+k,3h+3k,-h-7k) $
QUindi si tratta di vedere se esistono le soluzioni del sistema:
$ { ( h+k=1),( 3h+3k=0 ),( -h-7k=-1 ):} $ che non ha soluzioni, quindi il piano non esiste
2)Qual'è il vettore normale del generico piano appartenete al fascio?
Risposta è quello che ho trovato prima cioè: (h+k,3h+3k,-h-7k)
Terzo esercizio)
Si consideri la conica definita in coordinate omogenee mediante l'equzione:
$ f_h(x,x)=-2x_1^2+hx_2^2+x_3^2+5x_2x_3+2(h-1)x_1x_2=0 $ classificarla al variare di h
Svolgimento:
la matrice associata è: $ ( ( -2 , h-1 , 0 ),( h-1 , h , 5/2 ),( 0 , 5/2 , 1 ) ) $
il determinate è diverso da zero, e quindi la conica è non degenere per $ hne(2+-sqrt(18))/2 $ ,
per i valori in cui si annulla invece è degenere in particolare in entrambi i casi è semplicemente degenere.
per quanto riguarda i valori per cui la conica è non degenere si ha che la conica è un Iperbole per ogni h per cui è non degenere
Risposte
Dai, ci spero ancora
Ne deduco che avevate molto da fare... 
NOn fa niente li rimango comunque perchè sono esercizi base e potrebbero fare comodo a molti
NOn fa niente li rimango comunque perchè sono esercizi base e potrebbero fare comodo a molti
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