Seconda Forma Fondamentale
Qualcuno saprebbe dimostrarmi, oppure indicarmi un teorema che lo affermi, l'invarianza del secondo tensore fondamentale (cioé quello associato alla seconda forma fondamentale) rispetto a cambiamenti di parametrizzazioni su (ipotizziamo di essere in $RR^3$) una superficie bidimensionale?
Risposte
sob sob nessuno mi risponde!! 
ehhe
ehhe
Appena 12 minuti.. dai tempo al tempo... 
ho un paio di post indietro che risposta non ne hanno ricevuta proprio eheh, mi preoccupo io! qui non si pensa a meeee bwaaaaaah
ghghgh
ghghgh
a me non sembra che il tensore sia invariante, anzi al cambio di parametrizzazione la matrice associata a II si trasforma per congruenza.
similmente capita per I, così ad essere invarianti sono le curvature K e H, che sono traccia e determinante della matrice dell'operatore di forma S, che in conseguenza di quanto detto prima si trasforma per similitudine.
similmente capita per I, così ad essere invarianti sono le curvature K e H, che sono traccia e determinante della matrice dell'operatore di forma S, che in conseguenza di quanto detto prima si trasforma per similitudine.
io mi riferisco al cambiamento della parametrizzazione (u,v) sulla superficie, non delle (x,y,z) dello spazio ambiente
il tensore metrico dipende solo da come la superficie è immersa nello spazio, non da come ti muovi su di essa, questa mi pare si chiami invarianza per flessione..vale anche per il secondo tensore fondamentale, ma vorrei trovare un risultato a riguardo visto che l'ho solo letto buttato lì..
il tensore metrico dipende solo da come la superficie è immersa nello spazio, non da come ti muovi su di essa, questa mi pare si chiami invarianza per flessione..vale anche per il secondo tensore fondamentale, ma vorrei trovare un risultato a riguardo visto che l'ho solo letto buttato lì..
anche io mi riferivo alle (u,v), non sono d'accordo con quello che scrivi.
pensa ad un piano: la sua prima forma in coordinate polari e in coordinate cartesiane non è affatto la stessa.
pensa ad un piano: la sua prima forma in coordinate polari e in coordinate cartesiane non è affatto la stessa.
si mi sa che sto facendo un po' di confusione, grazie per la precisazione! allora mettiamola in questi termini, visto che sono questi che mi interessano:
le distanze $ds^2$ e $domega^2$ ricavabili tramite le relazioni
$ds^2 = g_(ij)dx^idx^j$
$domega^2 = b_(ij)dx^idx^j$
dove $g_(ij)$ e $b_(ij)$ sono gli elementi di primo e secondo tensore fondamentali sono degli invarianti rispetto ad un cambio di coordinate sulla superficie?
le distanze $ds^2$ e $domega^2$ ricavabili tramite le relazioni
$ds^2 = g_(ij)dx^idx^j$
$domega^2 = b_(ij)dx^idx^j$
dove $g_(ij)$ e $b_(ij)$ sono gli elementi di primo e secondo tensore fondamentali sono degli invarianti rispetto ad un cambio di coordinate sulla superficie?
io avevo in mente di sottoporli ad una verifica del tipo: passo da una parametrizzazione $X=X(theta_1,theta2)$ ad una $Y=Y(phi_1(theta_1,theta_2),phi_2(theta_1,theta_2)$ con $X°Y^(-1)$ diffeomorfismo
e vedo nelle componenti cosa succede, ovvero moltiplico per il determinante dello jacobiano le derivazioni e ricalcolo $ds^2$ e $domega^2$...tu che dici?
e vedo nelle componenti cosa succede, ovvero moltiplico per il determinante dello jacobiano le derivazioni e ricalcolo $ds^2$ e $domega^2$...tu che dici?
"Chicco_Stat_":
$ds^2 = g_(ij)dx^idx^j$
ds^2 è invariante, certo, proprio a causa della non invarianza dei vari g_ij
"Chicco_Stat_":
$domega^2 = b_(ij)dx^idx^j$
non ho mai visto una distanza indotta dalla seconda forma, forse è utilizzata in ambiti che non conosco (ho visto che studi statistica)...
"wedge":
[quote="Chicco_Stat_"]
$ds^2 = g_(ij)dx^idx^j$
ds^2 è invariante, certo, proprio a causa della non invarianza dei vari g_ij
"Chicco_Stat_":
$domega^2 = b_(ij)dx^idx^j$
non ho mai visto una distanza indotta dalla seconda forma, forse è utilizzata in ambiti che non conosco (ho visto che studi statistica)...[/quote]
questa forma quadratica misura la distanza di un punto su una superficie dal piano tangente alla superficie in un punto infinitesimamente vicino, e mostra come questa distanza (e questo lo si vede nelle componenti del secondo tensore) sia identica alla proiezione della distanza fra i due punti sulla normale alla superficie nel punto di tangenza
per essere più chiari..
costruisco il piano tangente ad un punto della superficie, sia $((x^1)_0,(x^2)_0)$ tale punto, ora prendo un altro punto $((x^1)_0+dx^1,(x^2)_0+dx^2)$ infinitesimamente vicino.
voglio calcolare la distanza del secondo punto dal piano tangente, e questa è uguale alla proiezione del segmento che unisce $((x^1)_0,(x^2)_0)$ e $((x^1)_0+dx^1,(x^2)_0+dx^2)$ sulla normale alla superficie in $((x^1)_0,(x^2)_0)$
per calcolare questa distanza si usa il secondo tensore fondamentale tramite la forma quadratica data prima
costruisco il piano tangente ad un punto della superficie, sia $((x^1)_0,(x^2)_0)$ tale punto, ora prendo un altro punto $((x^1)_0+dx^1,(x^2)_0+dx^2)$ infinitesimamente vicino.
voglio calcolare la distanza del secondo punto dal piano tangente, e questa è uguale alla proiezione del segmento che unisce $((x^1)_0,(x^2)_0)$ e $((x^1)_0+dx^1,(x^2)_0+dx^2)$ sulla normale alla superficie in $((x^1)_0,(x^2)_0)$
per calcolare questa distanza si usa il secondo tensore fondamentale tramite la forma quadratica data prima
siamo pari, questa volta sono stato io ad avere un blackout 
rimando la discussione a domani per evidente mia sonnolenza.
rimando la discussione a domani per evidente mia sonnolenza.
ok...grazie mille comunque!!
io continuerò a sbattere la testa su come dimostrare che $ds^2$ e $domega^2$ sono invarianti...
se qualcuno ha qualche idea? mi può dare un suggerimento? o anche solo citarmi un qualche teorema in merito? qualcosa che dica $ds^2$ è invariante (con dimostrazione però)?
io sto provando a mano facendo un cambio di parametrizzazione ma francamente il cervello non lavora più come dovrebbe dopo due giorni in piedi, e le derivate mi stanno mandando insieme gli occhi
ehhe
io continuerò a sbattere la testa su come dimostrare che $ds^2$ e $domega^2$ sono invarianti...
se qualcuno ha qualche idea? mi può dare un suggerimento? o anche solo citarmi un qualche teorema in merito? qualcosa che dica $ds^2$ è invariante (con dimostrazione però)?
io sto provando a mano facendo un cambio di parametrizzazione ma francamente il cervello non lavora più come dovrebbe dopo due giorni in piedi, e le derivate mi stanno mandando insieme gli occhi
ehhe
quello non è difficile, ChiccoStat. (ora che ho capito cosa chiedi)
con un po' di differenziazioni di funzioni composte dovresti arrivarci...
scrivi ogni dx_i^2 come differenziale di una funzione $x_i(y_i)$ ove gli y_i rappresentano la nuova parametrizzazione e fatti la barca di conti seguente...
oppure un'altra strada potrebbe (potrebbe!) essere quella di considerare che la distanza è data da ds^2 = I(dP,dP) e usare le leggi di trasformazione che ho scritto nel mio primo post.
a domani per maggiori dettagli.
con un po' di differenziazioni di funzioni composte dovresti arrivarci...
scrivi ogni dx_i^2 come differenziale di una funzione $x_i(y_i)$ ove gli y_i rappresentano la nuova parametrizzazione e fatti la barca di conti seguente...
oppure un'altra strada potrebbe (potrebbe!) essere quella di considerare che la distanza è data da ds^2 = I(dP,dP) e usare le leggi di trasformazione che ho scritto nel mio primo post.
a domani per maggiori dettagli.
ti ringrazio molto...purtroppo il mio relatore è uno all'antica..non sai che lotta ho dovuto fare per poter inserire nella tesi (per altro come se fosse una nota pittoresca) le espressioni dei tensori fondamentali e delle forme ad essi associate con il linguaggio dell'algebra lineare... vuole tutto per componenti "per rendersi bene conto"...ma buon dio a momenti ha conosciuto Gauss e mi avanza dei dubbi su queste cose?...boh.. ehhe
in sostanza mi toccherà fare per componenti, e domani devo arrivare da lui con la soluzione perché se no è la rovina, lunedì devo consegnare la tesi e domani è l'ultimo incontro..speriamo bene
grazie mille ancora comunque
in sostanza mi toccherà fare per componenti, e domani devo arrivare da lui con la soluzione perché se no è la rovina, lunedì devo consegnare la tesi e domani è l'ultimo incontro..speriamo bene
grazie mille ancora comunque
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