Se ho autovalori e autovettori, posso trovare la matrice?

[Yumina92]

Faccio l'esame di meccanica razionale. Questo discorso si inserirebbe in uno più ampio, cioè mi dovrei andare a trovare la matrice degli sforzi. Il prof fa un discorso più complesso, usando le norme e cosi via ma io ho pensato ... tanto mi guarda solo il risultato, ci sono tanti moti per arrivarci quindi posso provare!

Se io ho il mio tensore T, e w è il mio autovettore e a il mio autovalore, io so che $ T*w = a * w $
quindi pensavo di fare tre casi, ognuno corrispondente a un autovalore e al relativo autovettore, con una matrice 3x3 che ha tutte incognite, del tipo A, B, C ....

Alla fine otterrei 3 sistemi, con 3 equazioni ciascuno ... facendo un po' di sostituzioni mi ricavo le varie componenti del tensore ... va bene ?

[Sk_Anonymous]

Se ho ben compreso il problema, si tratta di calcolare la matrice associata ad un endomorfismo in $mathbb{R^3}$, del quale sono noti i tre autovalori $lambda_2,lambda_2,lambda_3$ ed i corrispondenti autovettori $v_1,v_2,v_3$
Se è così, allora siamo alle prese con un problema ultraclassico che si risolve come segue (senza dover ricorrere ad un sistemone di 9 equazioni in 9 incognite ...).
Si esprime il generico vettore $(x,y,z)$ di $mathbb{R^3}$ in funzione di $v_1,v_2,v_3$:
$(x,y,z)=av_1+bv_2+cv_3$ [ a,b,c sono scalari da determinare]
Facendo gli opportuni calcoli si ricavano i 3 scalari $a,b,c$ in funzione di x, y e z e poi passando alle immagini si ha:
$f(x,y,z)=af(v_1)+bf(v_2)+cf(v_3)=a lambda_1 v_1+b lambda_2 v_2+c lambda_3 v_3$ [ f rappresenta l'endomorfismo]
E da qui si può facilmente ricavare la matrice richiesta.

[vict85]

Usando un linguaggio meno teorico, di tratta semplicemente di usare lo stesso metodo della diagonalizzazione della matrice ma in senso inverso. Ti ricordo che le matrici di cambiamento di basi sono costruiti usando gli autovettori. Questo comunque è esattamente il metodo di ciromario solo che usando le matrici.

[Yumina92]

Mmm ok credo di aver capito.
Avrei un'altra domanda.

Mi sono stati detti altri due metodi per risolvere questa cosa.

1) Scrivere T * (matrice autovettori normalizzati in colonna) = (matrice dove per colonne ho gli autovettori normalizzati, ma moltiplicati scalarmente per il loro autovalore)

Poi da qui dire che T = (matrice dove per colonne ho gli autovettori normalizzati, ma moltiplicati scalarmente per il loro autovalore) * inversa (matrice autovettori normalizzati in colonna)

E questo mi torna.

2) Fare il prodotto righe per colonne fra (matrice autovettori normalizzati in colonna) e (matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale). Il risultato poi viene di nuovo moltiplicato per (trasposta matrice autovettori normalizzati in colonna)

L'ultimo passaggio mi torna poco ... perchè ho osservato che praticamente i due procedimenti sono simili, ma alla fine in uno viene usata l'inversa e in uno la trasposta ... a senso direi che va usata l'inversa, voi che dite ?