Se $ AA x in X $ compatto il prodotto scalare $ <x,w> $ è costante e diverso da $ 0 $, chi è $w$ ?
Sia dato uno spazio di Hilbert $ H $ infinito dimensionale, sia $ X $ un sottoinsieme compatto di $ H $ contenente infiniti elementi, inoltre $ w in H $ ed è tale che $ AA x in X $ il prodotto scalare $ =k $ con $ k $ costante e diverso da $ 0 $
Da queste ipotesi è possibile avere qualche "informazione" su $ w $ ?
Esiste qualche teorema che "comprende" queste ipotesi ?
Qualsiasi informazioni mi potrebbe essere utile perché il mio problema è in realtà più articolato.
Grazie
Da queste ipotesi è possibile avere qualche "informazione" su $ w $ ?
Esiste qualche teorema che "comprende" queste ipotesi ?
Qualsiasi informazioni mi potrebbe essere utile perché il mio problema è in realtà più articolato.
Grazie
Risposte
La condizione $\langle x ,w \rangle = 1$ e' un'equazione affine in $w$.
In particolare il compatto $X$ e' contenuto in un "piano affine" parallelo al piano ortogonale a $w$.
La situazione generale e' l'equivalente in $H$ della seguente situazione in \(\mathbb{R}^3\).
Prendi un compatto contenuto nel piano $z=1$. Questo ha il ruolo di $X$. Il ruolo di $w$ e' giocato dal vettore $(0,0,1)$. E' facile osservare che $\langle x,w \rangle$ e' costante non nullo per $x \in X$.
In particolare il compatto $X$ e' contenuto in un "piano affine" parallelo al piano ortogonale a $w$.
La situazione generale e' l'equivalente in $H$ della seguente situazione in \(\mathbb{R}^3\).
Prendi un compatto contenuto nel piano $z=1$. Questo ha il ruolo di $X$. Il ruolo di $w$ e' giocato dal vettore $(0,0,1)$. E' facile osservare che $\langle x,w \rangle$ e' costante non nullo per $x \in X$.
Grazie Pappappero, mi hai dato un'ottima idea su cui indagare, gli spazi affini, li avevo trascurati. grazie ancora
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