Scrivere le possibili forme canoniche di Jordan
Ciao a tutti...volevo domandarvi se potreste darmi una mano a risolvere questo esercizio.
Scrivere tutte le possibili forme canoniche di Jordan in $Mat_2$(C) che soddisfino $J^2$=I.
Allora io so che io Min(A)| $x^2$-1
e $x^2$-1=(x-1)(x+1)
quindi gli autovalori sono : 1, -1.
Ora non riesco a capire come devo procedere. Grazie a tutti!!!!
Scrivere tutte le possibili forme canoniche di Jordan in $Mat_2$(C) che soddisfino $J^2$=I.
Allora io so che io Min(A)| $x^2$-1
e $x^2$-1=(x-1)(x+1)
quindi gli autovalori sono : 1, -1.
Ora non riesco a capire come devo procedere. Grazie a tutti!!!!
Risposte
quali sono i possibili polinomi minimi quindi?
sono $(x-1)$ , $(x+1)$ e $(x^2-1)$
considerali uno per volta, guarda quali possono essere le forme di Jordan per ciascuno di questi.
sono $(x-1)$ , $(x+1)$ e $(x^2-1)$
considerali uno per volta, guarda quali possono essere le forme di Jordan per ciascuno di questi.
Allora:
x-1= $((1,0),(0,1))$
x+1=$((-1,0),(0,-1))$
(x-1)(x+1=$((-1,0),(0,+1))$
Ho fatto giusto???Grazie ancora per la risposta.
x-1= $((1,0),(0,1))$
x+1=$((-1,0),(0,-1))$
(x-1)(x+1=$((-1,0),(0,+1))$
Ho fatto giusto???Grazie ancora per la risposta.
figurati, è un piacere!
proviamo ad argomentare un po' le conclusioni che abbiamo trovato finora.
indico con $m$ il polinomio minimo.
1. se $m=x-1$ allora la matrice è l'identità, perchè?
io direi che quel polinomio minimo è quello relativo all'applicazione $f: RR^2 to RR^2$ tale che $Ker(f-Id)=RR^2$
ovvero proprio l'applicazione identica.
2. se $m=x+1$ discorso analogo.
3. $m=(x+1)(x-1)$ il discorso è più sottile.
io ti butto lì tre matrici, che soddisfano la richiesta di essere l'identità al quadrato, e che sembrano anche in forma di Jordan, e vediamo se vanno bene:
$J_1=((1,0),(0,-1))$ , $J_2=((1,0),(1,-1))$ , $J_3=((-1,0),(1,1))$
cosa ne dici?
proviamo ad argomentare un po' le conclusioni che abbiamo trovato finora.
indico con $m$ il polinomio minimo.
1. se $m=x-1$ allora la matrice è l'identità, perchè?
io direi che quel polinomio minimo è quello relativo all'applicazione $f: RR^2 to RR^2$ tale che $Ker(f-Id)=RR^2$
ovvero proprio l'applicazione identica.
2. se $m=x+1$ discorso analogo.
3. $m=(x+1)(x-1)$ il discorso è più sottile.
io ti butto lì tre matrici, che soddisfano la richiesta di essere l'identità al quadrato, e che sembrano anche in forma di Jordan, e vediamo se vanno bene:
$J_1=((1,0),(0,-1))$ , $J_2=((1,0),(1,-1))$ , $J_3=((-1,0),(1,1))$
cosa ne dici?
Direi che le matrici che mi hai scritto vanno bene perchè tutte e tre soddisfano $J^2$=I.Ora mi è tutto più chiaro, grazie per la tua disponibilità!!!!
calma, non so quanto sia un bene che è tutto chiaro adesso.
se io ti chiedessi: hai la matrice $A=((1,0),(1,-1))$ è diagonalizzabile?
calcoliamo il polinomio caratteristico, è $p=(x-1)(x+1)$
il polinomio caratteristico si fattorizza in fattori lineari distinti, dovresti sapere che questo significa che l'applicazione è diagonalizzabile.
ma la forma di Jordan è unica...
quindi? non va molto bene quella forma lì..
se io ti chiedessi: hai la matrice $A=((1,0),(1,-1))$ è diagonalizzabile?
calcoliamo il polinomio caratteristico, è $p=(x-1)(x+1)$
il polinomio caratteristico si fattorizza in fattori lineari distinti, dovresti sapere che questo significa che l'applicazione è diagonalizzabile.
ma la forma di Jordan è unica...
quindi? non va molto bene quella forma lì..
Si quella forma che hai scritto verifica $J^2$=I però non va bene perchè se gli autovalori sono distinti avresti dovuto scrivere :
A=$((1,0),(0,-1))$
Esatto???
A=$((1,0),(0,-1))$
Esatto???
penso tu abbia capito, ma cerco di mettere maggiore chiarezza:
la matrice $((1,0),(1,-1))$ esprime un'applicazione, al quadrato fa l'identità, ma non soddisfa la nostra richiesta perchè non è una forma di Jordan
come hai giustamente detto, la forma di Jordan di quella applicazione è $((1,0),(0,-1))$
adesso spero sia chiaro!
la matrice $((1,0),(1,-1))$ esprime un'applicazione, al quadrato fa l'identità, ma non soddisfa la nostra richiesta perchè non è una forma di Jordan
come hai giustamente detto, la forma di Jordan di quella applicazione è $((1,0),(0,-1))$
adesso spero sia chiaro!
Si ora ho capito....grazie ancora del tuo aiuto!!!!
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