Scoperto il prodotto scalare a 1 giorno dall'esame!!
Ebbene si! A un giorno dall'esame ho scoperto che esistono diversi prodotti scalari, o almeno così ho capito, oltre a quello standard del tipo $x_1*x_2+y_1*y_2+...$
Ho provato a studiare qualcosa su internet, ma tra fretta e spiegazioni troppo teoriche non ho capito nulla.
Ho bisogno di conoscenze fondamentali per poter risolvere esercizi di questo tipo:
1) Si consideri in $RR^3$ il prodotto scalare standard $< (x1; x2; x3);(y1; y2; y3) >= x1y1 +x2y2 +x3y3$. Scrivere la sua matrice associata relativa alla base $v1 = (1; 1; 0), v2 = (0; 1; 1), v3 = (1; 1; 1)$.
2) Siano $v = (x1; x2; x3)$ e $w = (y1; y2; y3) in RR^3$. Determinare quali delle seguenti funzioni bilineari defi niscono un prodotto scalare in $RR^3$.
a) $< v; w >= x1y2 + x2y1 + x3y3$.
b) $< v; w >= x1y1 + x2y2 + 3x3y3$.
c) $< v; w >= 2x1y1 x2y2 + x3y3$.
3) Sia $S$ lo spazio vettoriali delle matrici simmetriche di ordine 2. Siano $A; B in S$, defi nire $b(A; B) = traceAB$:
a) Dimostrare che $b$ defi nisce un prodotto scalare su $S$.
b) Decidere se $b$ defi nisce un prodotto scalare su $M(2;R)$?
c) Fissata una base di $S$, scrivere la matrice associata a $b$ nella base scelta
questi sono 3 esercizi, dei tanti che ho sul pdf del corso, quelli che sembrano più semplici. Non vi sto chiedendo di risolverli, ma di darmi le nozioni fondamentali magari con qualche esempio per imparare vagamente a risolverli!
Ho scoperto anche che abbiamo studiato basi ortogonali e ortonormali, ma credo di aver capito cosa sono, quindi chiedo solo la conferma. Base ortogonale: base di vettori ortogonali tra loro, e quindi il prodotto scalare tra gli elementi presi a 2 a 2 è nullo. Base ortonormale: base ortogonale dove ogni elemento ha modulo 1.
Ho provato a studiare qualcosa su internet, ma tra fretta e spiegazioni troppo teoriche non ho capito nulla.
Ho bisogno di conoscenze fondamentali per poter risolvere esercizi di questo tipo:
1) Si consideri in $RR^3$ il prodotto scalare standard $< (x1; x2; x3);(y1; y2; y3) >= x1y1 +x2y2 +x3y3$. Scrivere la sua matrice associata relativa alla base $v1 = (1; 1; 0), v2 = (0; 1; 1), v3 = (1; 1; 1)$.
2) Siano $v = (x1; x2; x3)$ e $w = (y1; y2; y3) in RR^3$. Determinare quali delle seguenti funzioni bilineari defi niscono un prodotto scalare in $RR^3$.
a) $< v; w >= x1y2 + x2y1 + x3y3$.
b) $< v; w >= x1y1 + x2y2 + 3x3y3$.
c) $< v; w >= 2x1y1 x2y2 + x3y3$.
3) Sia $S$ lo spazio vettoriali delle matrici simmetriche di ordine 2. Siano $A; B in S$, defi nire $b(A; B) = traceAB$:
a) Dimostrare che $b$ defi nisce un prodotto scalare su $S$.
b) Decidere se $b$ defi nisce un prodotto scalare su $M(2;R)$?
c) Fissata una base di $S$, scrivere la matrice associata a $b$ nella base scelta
questi sono 3 esercizi, dei tanti che ho sul pdf del corso, quelli che sembrano più semplici. Non vi sto chiedendo di risolverli, ma di darmi le nozioni fondamentali magari con qualche esempio per imparare vagamente a risolverli!
Ho scoperto anche che abbiamo studiato basi ortogonali e ortonormali, ma credo di aver capito cosa sono, quindi chiedo solo la conferma. Base ortogonale: base di vettori ortogonali tra loro, e quindi il prodotto scalare tra gli elementi presi a 2 a 2 è nullo. Base ortonormale: base ortogonale dove ogni elemento ha modulo 1.
Risposte
Una forma bilineare è una funzione \(\displaystyle B(x,y)\colon V\times V \to \mathbb{R}\) tale che \(\displaystyle B(\cdot, v) \) e \(\displaystyle B(v, \cdot) \) sono funzioni lineari per ogni \(\displaystyle v \). In altre parole \(\displaystyle B(\lambda v + \mu w, \alpha v' + \beta w') = \lambda \alpha B(v,v') + \mu\alpha B(w,v') + \lambda\beta B(v,w') + \mu\beta B(w,w') \).
In ogni caso, una forma bilineare è un prodotto scalare se:
1) è simmetrico \(\displaystyle B(v,w) = B(w,v) \)
2) definito positivo: \(\displaystyle B(v,v) \ge 0 \) e \(\displaystyle B(v,v) = 0 \) se e solo se \(\displaystyle v=0 \).
Negli esercizi si tratta solamente di dimostrare che la forma bilineare ha queste caratteristiche.
Fissato una base, e quindi delle coordinate per i vettori considerati, si può definire una matrice della forma bilineare. Infatti la forma bilineare è completamente definita dai valori \(\displaystyle B(e_i,e_j) \) dove \(\displaystyle e_i \), \(\displaystyle e_j \) sono vettori della base.
Se B è la matrice associata ad una forma bilineare e i vettori sono in colonna allora risulta: \(\displaystyle
B(v,w) = v^T B w \) dove \(\displaystyle v^T \) è il vettore riga associato a \(\displaystyle v \). Infatti la dimensione del risultato è \(\displaystyle (1\times n)(n\times n)(n\times 1) = (1\times n)(n\times 1) = (1\times 1) \) cioé è uno scalare.
Se tu cambi le coordinate e \(\displaystyle v = Pv', w = Pw' \) è il cambio delle coordinate allora \(\displaystyle
v^T B w = (Pv')^T B (Pw') = v' (P^TBP) w'\).
Si tratta solo di applicare le formule. Dubbi?
In ogni caso, una forma bilineare è un prodotto scalare se:
1) è simmetrico \(\displaystyle B(v,w) = B(w,v) \)
2) definito positivo: \(\displaystyle B(v,v) \ge 0 \) e \(\displaystyle B(v,v) = 0 \) se e solo se \(\displaystyle v=0 \).
Negli esercizi si tratta solamente di dimostrare che la forma bilineare ha queste caratteristiche.
Fissato una base, e quindi delle coordinate per i vettori considerati, si può definire una matrice della forma bilineare. Infatti la forma bilineare è completamente definita dai valori \(\displaystyle B(e_i,e_j) \) dove \(\displaystyle e_i \), \(\displaystyle e_j \) sono vettori della base.
Se B è la matrice associata ad una forma bilineare e i vettori sono in colonna allora risulta: \(\displaystyle
B(v,w) = v^T B w \) dove \(\displaystyle v^T \) è il vettore riga associato a \(\displaystyle v \). Infatti la dimensione del risultato è \(\displaystyle (1\times n)(n\times n)(n\times 1) = (1\times n)(n\times 1) = (1\times 1) \) cioé è uno scalare.
Se tu cambi le coordinate e \(\displaystyle v = Pv', w = Pw' \) è il cambio delle coordinate allora \(\displaystyle
v^T B w = (Pv')^T B (Pw') = v' (P^TBP) w'\).
Si tratta solo di applicare le formule. Dubbi?
Qual'è, o meglio, come si ricava la matrice associata a una forma bilineare!? Puoi fare un esempio pratico per favore
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