Scomposizione polinomio caratteristico

[thedarkhero]

Sia V spazio vettoriale e sia $phi:V->V$ endomorfismo.
Sia W sottospazio di V tale che $phi(W)subeW$.
Sia allora $phi':V/W->V/W$ definita come $phi'(v+W)=phi(v)+W$.
Allora il polinomio caratteristico di $phi$ si scrive come $P_(phi)(X)=P_(phi_|W)(X)*P_(phi')(X)$.
Come si può dimostrare questo fatto?

[misanino]

"thedarkhero":Sia V spazio vettoriale e sia $phi:V->V$ endomorfismo.
Sia W sottospazio di V tale che $phi(W)subeW$.
Sia allora $phi':V/W->V/W$ definita come $phi'(v+W)=phi(v)+W$.
Allora il polinomio caratteristico di $phi$ si scrive come $P_(phi)(X)=P_(phi_|W)(X)*P_(phi')(X)$.
Come si può dimostrare questo fatto?

Puoi prendere una base di W e completarla a base di V (tieni conto che se agisci così allora i vettori che devi aggiungere alla base di W per avere una base di V è proprio una base di V/W)

[thedarkhero]

Quello che mi hai scritto è chiaro. Ma come lo utilizzo ai fini della dimostrazione?

[misanino]

Lo utilizzi perchè se scrivi la matrice che rappresenta il tuo endomorfismo $\varphi$ rispetto alla base composta che ti ho citato, ottieni una matrice a blocchi di questo tipo:
$((A,B),(0,C))$
dove $A,B,C$ sono matrici e $A,C$ sono quadrate.
Ora il determinante della matrice a blocchi che ti ho scritto è uguale a $det(A)*det(C)$