Scomposizione del vettore curvatura
Qualcuno potrebbe spiegarmi la scomposizione del vettore curvatura in un punto di una curva giacente su una superficie riemanniana immersa in $R^3$ ? Ho trovato una scomposizione in due termini che mi fornisce la componente sulla superficie e quella sulla normale, da cui poi ottenere curvatura normale e geodetica, ma anche una tripartizione in cui indica una componente normale, una geodetica e una parallela, così le chiamano..qualcuno potrebbe chiarirmi le idee?
vi ringrazio anticipatamente!
vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
...bella storia... su che libro stai studiando? perché "componente parallela" mi fa pensare alla derivata covariante, ma sul DoCarmo (il libro di geometria che ho io) non ho trovato niente...
c'è da dire che spesso succede che gli autori diano nomi diversi alla stessa cosa...
c'è da dire che spesso succede che gli autori diano nomi diversi alla stessa cosa...
ti ringrazio per la risposta, non è da un libro che ho tratto questa scomposizione ma da un articolo, per altro redatto da due statistici, il che significa che non è proprio il massimo dell'eleganza in termini di rigore matematico.. sul Do Carmo non c'è questa scomposizione, come ho già avuto modo di verificare..ti riporto l'interpretazione che danno loro a queste componenti così magari ti viene in mente qualcosa. Chiamerò in questa sede $etha2_h$ il vettore curvatura, o vettore delle derivate seconde, o di accelerazione, di una linea su una superficie determinata da una direzione h nello spazio parametrico, ed $etha1_h$ quello delle derivate prime
"The acceleration vector $etha2_h$ can be written as three components, $(etha2^N)_h$ normal to the tangent plane, $(etha2^P)_h$ parallel to $etha1_h$, and $(etha2^G)_h$ parallel to the tangent plane normal to $etha1_h$, so
$etha2_h = (etha2^N)_h + (etha2^P)_h + (etha2^G)_h$
Phisically, the normal acceleration $(etha2^N)_h$ determines the change in direction of the vector $etha1_h$ normal to the tangent plane, while the geodesic acceleration $(etha2^G)_h$ determines the change in direction of the vector $etha2_h$ parallel to the tangent plane. The parallel tangent component $(etha2^P)_h$ determines the change in speed of the moving point and hence determine whether the point moves uniformly across the solution locus"
il punto a cui si fa riferimento è un immaginario punto che si muova lungo la curva sulla superficie di modo di trovarsi al tempo "b" in $etha_h(b)$, ed il luogo delle soluzioni è tale superficie.
"The acceleration vector $etha2_h$ can be written as three components, $(etha2^N)_h$ normal to the tangent plane, $(etha2^P)_h$ parallel to $etha1_h$, and $(etha2^G)_h$ parallel to the tangent plane normal to $etha1_h$, so
$etha2_h = (etha2^N)_h + (etha2^P)_h + (etha2^G)_h$
Phisically, the normal acceleration $(etha2^N)_h$ determines the change in direction of the vector $etha1_h$ normal to the tangent plane, while the geodesic acceleration $(etha2^G)_h$ determines the change in direction of the vector $etha2_h$ parallel to the tangent plane. The parallel tangent component $(etha2^P)_h$ determines the change in speed of the moving point and hence determine whether the point moves uniformly across the solution locus"
il punto a cui si fa riferimento è un immaginario punto che si muova lungo la curva sulla superficie di modo di trovarsi al tempo "b" in $etha_h(b)$, ed il luogo delle soluzioni è tale superficie.
mi sembra di capire che quella che lui chiama $(etha2^P)_h$ non c'entri molto con la curvatura...
sta facendo una scomposizione più "fisica" che non "geometrica" (metto le virgolette perché non è proprio esatto, ma famo a capisse! gh!)
nel senso. siccome la curvatura mi dice quanto la curva (o la superficie) è lontana dall'essere una retta (o un piano) quando scrive
$etha2_h = (etha2^N)_h + (etha2^P)_h + (etha2^G)_h$
la parte d'accelerazione "dedicata alla curvatura" è $(etha2^N)_h + (etha2^G)_h$ mentre $(etha2^P)_h$ dice come cambia la velocità in modulo, quindi con la curvatura c'entra poco...
almeno questo è quel che capisco io da qui...
sta facendo una scomposizione più "fisica" che non "geometrica" (metto le virgolette perché non è proprio esatto, ma famo a capisse! gh!)
nel senso. siccome la curvatura mi dice quanto la curva (o la superficie) è lontana dall'essere una retta (o un piano) quando scrive
$etha2_h = (etha2^N)_h + (etha2^P)_h + (etha2^G)_h$
la parte d'accelerazione "dedicata alla curvatura" è $(etha2^N)_h + (etha2^G)_h$ mentre $(etha2^P)_h$ dice come cambia la velocità in modulo, quindi con la curvatura c'entra poco...
almeno questo è quel che capisco io da qui...
Secondo te perché sono così in dubbio? eheh
tralasciando per un secondo le curvature, a me basta capire visivamente quali siano queste componenti di cui parlano, proiezione sulla normale, sul piano tangente, su cosa? se può aiutarti in un passaggio successivo gli autori sommano le componenti "G" e "P" e la chiamano accelerazione tangenziale totale...e così assomiglia anche alla formula di scomposizione che si trova in ogni libro di analisi 2 (un esempio il pagani-salsa), però non mi ritrovo lo stesso.
è un piccolo nodo che mi serve sciogliere per poter spiegare meglio un passaggio nella mia tesi, e capirlo a dovere mi potrebbe aiutare ad ampliare l'argomento perché ho qualche idea in proposito.
tralasciando per un secondo le curvature, a me basta capire visivamente quali siano queste componenti di cui parlano, proiezione sulla normale, sul piano tangente, su cosa? se può aiutarti in un passaggio successivo gli autori sommano le componenti "G" e "P" e la chiamano accelerazione tangenziale totale...e così assomiglia anche alla formula di scomposizione che si trova in ogni libro di analisi 2 (un esempio il pagani-salsa), però non mi ritrovo lo stesso.
è un piccolo nodo che mi serve sciogliere per poter spiegare meglio un passaggio nella mia tesi, e capirlo a dovere mi potrebbe aiutare ad ampliare l'argomento perché ho qualche idea in proposito.
beh... ma lo dice dove stanno le componenti...
$(etha2^N)_h$ è la componente sulla normale alla superficie (che poi sarebbe la curvatura normale), $(etha2^P)_h$ è sul piano tangente alla superficie ed è multiplo della velocità, $(etha2^G)_h$ è sempre sul tangente, ma ortogonale alla velocità (e infatti da la curvatura geodetica...)
e infatti quando somma $etha^P+etha^G$ fa la somma di due vettori che stanno sul piano tangente e trova l'accelerazione tangenziale totale...
fuoritema: in che fai la tesi?
$(etha2^N)_h$ normal to the tangent plane, $(etha2^P)_h$ parallel to $etha1_h$, and $(etha2^G)_h$ parallel to the tangent plane normal to $etha1_h$
$(etha2^N)_h$ è la componente sulla normale alla superficie (che poi sarebbe la curvatura normale), $(etha2^P)_h$ è sul piano tangente alla superficie ed è multiplo della velocità, $(etha2^G)_h$ è sempre sul tangente, ma ortogonale alla velocità (e infatti da la curvatura geodetica...)
e infatti quando somma $etha^P+etha^G$ fa la somma di due vettori che stanno sul piano tangente e trova l'accelerazione tangenziale totale...
fuoritema: in che fai la tesi?
uhm ora rifletto meglio su questa scomposizione, ho un po' di confusione in testa...mi sono dovuto preparare corsi interi di geometria differenziale da solo praticamente, visto che in università da me non ne fanno 
la tesi è in statistica matematica..l'argomento è in soldoni un approccio geometrico differenziale all'analisi delle proprietà delle stime parametriche di modelli non lineari...
le misure di curvatura che si derivano da questa scomposizione sono una utile indicazione relativamente alla lontananza dalla normalità distributiva, dal limite inferiore di varianza, dalla non distorsione e così via
p.s. graficamente (immaginando il caso di una linea su una $V_(2)$ immersa in un $E_(3)$, dove si situa il vettore delle derivate seconde?
la tesi è in statistica matematica..l'argomento è in soldoni un approccio geometrico differenziale all'analisi delle proprietà delle stime parametriche di modelli non lineari...
le misure di curvatura che si derivano da questa scomposizione sono una utile indicazione relativamente alla lontananza dalla normalità distributiva, dal limite inferiore di varianza, dalla non distorsione e così via
p.s. graficamente (immaginando il caso di una linea su una $V_(2)$ immersa in un $E_(3)$, dove si situa il vettore delle derivate seconde?
non fate geometria differenziale? e io che credevo che da noi se ne facesse poca...
comunque è ufficiale, della tua tesi non capisco un accidente (gh!) a parte un pochino della geometria differenziale che c'è dietro...
"graficamente" l'accelerazione (il vettore derivata seconda) della curva può essere messo più o meno come gli pare: dipenderà dalla traiettoria...
intuitivamente pensa così:
prendi la superficie e sopra ci metti la curva. consideri un punto sulla curva, il piano tangente alla superficie nel punto, e il versore normale al piano tangente. poi, siccome il piano tangente è pur sempre un piano, ci sono due vettori che lo generano e allora te i scegli comodi: uno sarà la velocità (magari normalizzata) e l'altro lo prendi ortogonale alla velocità (...magari anche lui unitario, sempre sul piano però). quelli son tre vettori indipendenti che quindi generano lo spazio tridimensionale... come che sia messa l'accelerazione, la puoi scrivere in quella base lì!
e quella base lì è comoda perché ti da, la variazione del modulo della velocità (modulo della componente lungo la velocità), la curvatura normale (il modulo della componente lungo la normale), e la curvatura geodetica (modulo della terza componente, quella ortogonale alla velocità)
...non so se sono riuscita a dirlo bene...
comunque è ufficiale, della tua tesi non capisco un accidente (gh!) a parte un pochino della geometria differenziale che c'è dietro...
"graficamente" l'accelerazione (il vettore derivata seconda) della curva può essere messo più o meno come gli pare: dipenderà dalla traiettoria...
intuitivamente pensa così:
prendi la superficie e sopra ci metti la curva. consideri un punto sulla curva, il piano tangente alla superficie nel punto, e il versore normale al piano tangente. poi, siccome il piano tangente è pur sempre un piano, ci sono due vettori che lo generano e allora te i scegli comodi: uno sarà la velocità (magari normalizzata) e l'altro lo prendi ortogonale alla velocità (...magari anche lui unitario, sempre sul piano però). quelli son tre vettori indipendenti che quindi generano lo spazio tridimensionale... come che sia messa l'accelerazione, la puoi scrivere in quella base lì!
e quella base lì è comoda perché ti da, la variazione del modulo della velocità (modulo della componente lungo la velocità), la curvatura normale (il modulo della componente lungo la normale), e la curvatura geodetica (modulo della terza componente, quella ortogonale alla velocità)
...non so se sono riuscita a dirlo bene...
si ti sei spiegata bene
di geometria differenziale non ne facciamo purtroppo..ho dovuto studiare tutto da solo, è per questo che ho questi dubbi che potranno sembrarti elementari grazie ancora per la disponibilità!!
se mi viene qualche altro dubbio riposto
di geometria differenziale non ne facciamo purtroppo..ho dovuto studiare tutto da solo, è per questo che ho questi dubbi che potranno sembrarti elementari
grazie ancora per la disponibilità!!se mi viene qualche altro dubbio riposto
ah un'ultima cosa!! prima che mi dimentichi...come faccio a mostrare che la componente lungo la normale è indipendente dalla parametrizzazione scelta? avevo in mente di esprimerla in componenti e far vedere che è funzione solo di elementi del tensore metrico..può andare? se no come potrei fare?
ma figurati, è il mio "lavoro"! (gh!)
per quanto riguarda l'indipendenza dalla parametrizzazione... forse si può fare in modo più semplice... (ora comincio a ragionare ad alta voce)
supponiamo intanto che la curva sia parametrizzata in modo che abbia velocità in modulo costantemente uguale a 1 (quella che il DoCarmo chiama "arc lenght"...), tanto al più riparametrizzi...
la componente normale la trovi facendo il prodotto scalare tra l'accelerazione della curva e il versore normale alla superficie. e direi che nessuno dei due vettori dipende da come hai parametrizzato la superficie... di sicuro non l'accelerazione della curva dato che la curva stessa non dipende dalla parametrizzazione della superficie. e nemmeno il versore normale alla superficie essendo una proprietà intrinseca...
se la curva non è parametrizzata con velocità costantemente uguale a uno, puoi considerare un cambio di variabile in modo da riparametrizzare la curva con "arc lenght" (il mio proffo traduceva "ascissa curvilinea"). con l'ascissa curvilinea è tutto occhei, poi se consideri il cambio inverso dovrebbe tornare tutto apposto...
vabbeh... voglia zero di mettermi a controllare sui vecchi appunti... però sembra ragionevole...
per quanto riguarda l'indipendenza dalla parametrizzazione... forse si può fare in modo più semplice... (ora comincio a ragionare ad alta voce)
supponiamo intanto che la curva sia parametrizzata in modo che abbia velocità in modulo costantemente uguale a 1 (quella che il DoCarmo chiama "arc lenght"...), tanto al più riparametrizzi...
la componente normale la trovi facendo il prodotto scalare tra l'accelerazione della curva e il versore normale alla superficie. e direi che nessuno dei due vettori dipende da come hai parametrizzato la superficie... di sicuro non l'accelerazione della curva dato che la curva stessa non dipende dalla parametrizzazione della superficie. e nemmeno il versore normale alla superficie essendo una proprietà intrinseca...
se la curva non è parametrizzata con velocità costantemente uguale a uno, puoi considerare un cambio di variabile in modo da riparametrizzare la curva con "arc lenght" (il mio proffo traduceva "ascissa curvilinea"). con l'ascissa curvilinea è tutto occhei, poi se consideri il cambio inverso dovrebbe tornare tutto apposto...
vabbeh... voglia zero di mettermi a controllare sui vecchi appunti... però sembra ragionevole...
hmm proverò a formalizzare il ragionamento..il mio relatore è di una pignoleria mai vista, fa le pulci persino agli indici..è arrivato a dirmi che una notazione "non era chiara" quando l'avevo tratta da un suo lavoro ahah
meglio avere un relatore pignolo, fidati!!!
anche il mio è un preciso e ne sono felicissima!
anche il mio è un preciso e ne sono felicissima!
ne sono felicissimo anche io, ma ti assicuro che ci sono dei momenti in cui gli farei saltare volentieri la dentiera hihihi
sì beh... comprensibile...
gh!
gh!
martedì devo andare da lui per (forse) l'ultimo incontro..domani e lunedì mi tocca mettermi sotto a risistemare le ultime cose davvero per bene..
e poi ho finito...mi dispiace un sacco uff..mi piace la vita universitaria...e mo' mi tocca aspettare fino a settembre per iniziare il dottorato!
e poi ho finito...mi dispiace un sacco uff..mi piace la vita universitaria...e mo' mi tocca aspettare fino a settembre per iniziare il dottorato!
in bocca al lupo!
in questi mesi comunque credo tu possa continuare a studiare, magari col tuo capo... l'ho visto un sacco di volte!
per il dottorato, dove hai intenzione di tentare?
in questi mesi comunque credo tu possa continuare a studiare, magari col tuo capo... l'ho visto un sacco di volte!
per il dottorato, dove hai intenzione di tentare?
inizierò qui a milano, dottorato di ricerca in statistica metodologica e (sigh) applicata
è consorziato fra cattolica, bicocca, università di pavia, di trento, di verona e forse qualcun'altra che non ricordo
poi l'idea è di concludere il dottorato all'estere...ho messo gli occhi sulla scuola di statistica matematica dell'università di Stoccolma... hmmmm
è consorziato fra cattolica, bicocca, università di pavia, di trento, di verona e forse qualcun'altra che non ricordo
poi l'idea è di concludere il dottorato all'estere...ho messo gli occhi sulla scuola di statistica matematica dell'università di Stoccolma... hmmmm
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo