Scomporre matrice in emissimetrice e simmetrica?
Salve, mi potete spiegare come fare per scomporre per scomporre una matrice A1, nella somma di una matrice simmetrica A2 e di una matrice emissimetrica A3?
Risposte
Premesso che per capire che "emisimmetrica" è un modo alternativo di dire "antisimmetrica" ho dovuto scomodare google, considera la seguente uguaglianza
$$A=\frac{A+A^t}{2}+\frac{A-A^t}{2}$$
Ti accorgi che il primo pezzo è simmetrico, il secondo anti-emi-simmetrico.
Tra parentesi, quest'uguaglianza mi dice che lo spazio delle matrici è somma di due sottospazi, quello delle matrici simmetriche e delle matrici antisimmetriche. Inoltre la somma è diretta perchè l'unica matrice sia simmetrica che antisimmetrica è 0 (infatti deve aversi $A_{ij} = A_{ji} = -A_{ij}\Rightarrow A_{ij}=0$
$$A=\frac{A+A^t}{2}+\frac{A-A^t}{2}$$
Ti accorgi che il primo pezzo è simmetrico, il secondo anti-emi-simmetrico.
Tra parentesi, quest'uguaglianza mi dice che lo spazio delle matrici è somma di due sottospazi, quello delle matrici simmetriche e delle matrici antisimmetriche. Inoltre la somma è diretta perchè l'unica matrice sia simmetrica che antisimmetrica è 0 (infatti deve aversi $A_{ij} = A_{ji} = -A_{ij}\Rightarrow A_{ij}=0$
Sul mio libro c'è scritto emissimmetrica comunque grazie!
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