R/Z è compatto?

[natia88]

Si consideri l'operazione $ZZxRR->RR$, $(m,x)->x+m$ del gruppo additivo $ZZ$ su $RR$ e si dimostri che il quoziente $RR/ZZ$ è compatto.

Sappiamo che il quoziente di un compatto è compatto...ma nè $RR$ e nè $ZZ$ lo sono...sto facendo confusione?

[dissonance]

Ma non è questo che devi sfruttare. $RR//ZZ$ è omeomorfo ad un certo spazio topologico molto familiare...quale? Immagina di avere davanti la retta reale sotto forma di filo di lunghezza infinita, e con un paio di forbici fai un taglio in corrispondenza di ogni numero intero. Ora comincia ad operare le identificazioni richieste dall'operazione di quoziente modulo $ZZ$. E'chiaro che $[x+n]=[x]$ per ogni $n\inZZ$, quindi devi sovrapporre gli infiniti segmentini di filo uno sull'altro, fondendoli in un solo segmentino (o, se preferisci, puoi immaginare di buttare nella spazzatura tutti i segmentini tranne uno). Sei rimasta con un segmento. Ma non è finita: gli estremi di questo segmento, che corrispondono a $[0], [1]$ rispettivamente, pure vanno identificati. Immagina di portare uno sull'altro e di fonderli insieme. Che figura geometrica si ottiene, in conclusione?

Ora si tratta di formalizzare il tutto trovando un omeomorfismo tra $RR//ZZ$ e questa figura geometrica.

[natia88]

giusto...$RR/ZZ$ è isomorfo a $S^1$....

[dissonance]

Visto? Lo sapevi pure. Secondo me è la strada più semplice per dimostrare che $RR//ZZ$ è compatto. Poi non so, ci saranno altre strade (magari criteri di compattezza per gruppi topologici che io ignoro), ma sicuramente è meglio sfruttare questo omeomorfismo che verificare direttamente con i ricoprimenti aperti.

[vict85]

"dissonance":Ma non è questo che devi sfruttare. $RR//ZZ$ è omeomorfo ad un certo spazio topologico molto familiare...quale? Immagina di avere davanti la retta reale sotto forma di filo di lunghezza infinita, e con un paio di forbici fai un taglio in corrispondenza di ogni numero intero. Ora comincia ad operare le identificazioni richieste dall'operazione di quoziente modulo $ZZ$. E'chiaro che $[x+n]=[x]$ per ogni $n\inZZ$, quindi devi sovrapporre gli infiniti segmentini di filo uno sull'altro, fondendoli in un solo segmentino (o, se preferisci, puoi immaginare di buttare nella spazzatura tutti i segmentini tranne uno). Sei rimasta con un segmento. Ma non è finita: gli estremi di questo segmento, che corrispondono a $[0], [1]$ rispettivamente, pure vanno identificati. Immagina di portare uno sull'altro e di fonderli insieme. Che figura geometrica si ottiene, in conclusione?

Ora si tratta di formalizzare il tutto trovando un omeomorfismo tra $RR//ZZ$ e questa figura geometrica.

In realtà più che tagliare direi che fai come quando hai un filo molto lungo, lo vuoi ritirare e quindi lo arrotoli.

[dissonance]

Hai ragione vict, "tagliare" è meglio non usarlo perché suggerisce l'idea della discontinuità.