$RR/ZZ$

[squalllionheart]

Consulenza flash
Sia ($R$, d) lo spazio metrico con la metrica standard allora si dimostra che tutti gli aperti di $R$ sono del tipo $(a,b)$ $(a,oo)$ oppure i complementari di insiemi finiti.
Inoltre si dimostra che $RR-QQ$ non è aperto mentre $RR-ZZ$ lo è.

Allora $RR-ZZ$ è aperto dato che è formato da insiemi del tipo $(a,b)$ con $a,bin ZZ$ mentre $RR-QQ$ nn lo è dato che tra due reali esiste sempre un razionale.

Ma come si dimostra che tra due reali esiste sempre un razionale?

[dissonance]

Dipende da come definisci i numeri reali. Una maniera di farlo, ad esempio, è usare la proprietà archimedea. Non mi ricordo i dettagli sinceramente... Ma sono cose standard che trovi di sicuro su un qualunque libro di Analisi 1. Questa proprietà di $QQ$ si chiama densità in $RR$.

[maurer]

Ti posso dire come lo abbiamo fatto noi nelle lezioni di Analisi 1.
Premetto un lemma: siano a e b due numeri reali tali che $a1$. Allora esiste sempre un $z\in ZZ$ tale che $a Dimostrazione: Consideriamo il sottoinsieme di $ZZ$ dei numeri interi maggiori o uguali di b. Allora per il principio del buon ordinamento, tale insieme ha un minimo. Sia esso m. Si ha che $m-1=b$, avrei che $m-1$ è un intero che maggiora b e tuttavia è più piccolo del minimo numero che ha questa proprietà. Assurdo. Inoltre, $m-1>a$; infatti, se fosse $m-1<=a$ allora si avrebbe che $m-1<=a
A questo punto possiamo dimostrare il teorema. Siano $a,b \in RR$, $a1$ e dunque per il lemma $EE m \in ZZ | na < m < nb rarr a

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[dissonance]

Bravo maurer! è esattamente quella la dimostrazione che non mi ricordavo. Fa parte di un bagaglio di conoscenze che uso di rado e che quindi mi scordo sempre.

Comunque:

"squalllionheart":
Sia ($R$, d) lo spazio metrico con la metrica standard allora si dimostra che tutti gli aperti di $R$ sono del tipo $(a,b)$ $(a,oo)$ oppure i complementari di insiemi finiti.

Attenzione a questa frase, squalllionheart, scritta così com'è è falsa... Mancano all'appello un sacco di aperti, precisamente tutti gli insiemi che sono unione di quelli che hai citato tu.

[squalllionheart]

si. grazie dissonace