$RR^2\\{0}$ è omeomorfo a $S^1xxRR$
Si provi che $RR^2\\{0}$ è omeomorfo a $S^1xxRR$. Io pensato che basta mostrare che $S^1$ è omeomorfo a $RR\\{0}$ trovata la funzione $f$ che rende li rende omeomorfi ho che la funzione $g:S^1xxRR->RR^2\\{0}$ con $g(P,y)=(f(P),y)$ è omeomorfismo (dove $P$ è un punto su $S^1$). Ora $f$ l'ho identificata attraverso questo disegno:
Però come faccio a trovare esplicitamente $f$? E soprattutto non mi è chiaro perchè $S^1$ è omeomorfo a $RR\\{0}$ invece che a $RR$.
Però come faccio a trovare esplicitamente $f$? E soprattutto non mi è chiaro perchè $S^1$ è omeomorfo a $RR\\{0}$ invece che a $RR$.
Risposte
Forse se pongo $P=(x_p,y_p)$ un punto su $S^1$ ho che $f:S^1->RR\\{0}$ con $f(P)=x_p/(1-y_p)$ è omemorfismo. Effettivamente siccome $y_p≠1$ (altrimenti il denominatore sarebbe $0$) non posso ottenere $f(P)=0$ (che si ottiene solo nel caso $x_p=0$ ma siccome $P$ è un punto di una circoferenza unitaria necessariamente $y_p=1$).
$S_1$ non è omeoforfo né a $\mathbb{R}$ né a $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Il disegno invece mostra che $S_1$ meno un punto è omeoforfo a $\mathbb{R}$.
"ViciousGoblin":
$S_1$ non è omeoforfo né a $\mathbb{R}$ né a $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Il disegno invece mostra che $S_1$ meno un punto è omeoforfo a $\mathbb{R}$.
Allora come mostro che
$RR^2\\{0}$ è omeomorfo a $S^1xxRR$?
"ViciousGoblin":
$S_1$ non è omeoforfo né a $\mathbb{R}$ né a $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Il disegno invece mostra che $S_1$ meno un punto è omeoforfo a $\mathbb{R}$.
Omeoforfo: una funzione continua con problemi di desquamazione del cuoio capelluto?
(E poi si scrive \(S^1\), non \(S_1\))
Il ragionamento di OP è proprio sbagliato: cose vere in queste vicinanze sono che la compattificazione a un punto di $RR$ è omeoMorfa a \(S^1\), o che (per l'appunto, \(S^1\setminus\{p\}\) è omeomorfo a $RR$; il suggerimento che darei a OP è di fare il disegno di un cilindro \(S^1\times ]0,1[\) (così da dover gestire uno sottospazio limitato di \(\mathbb R^3\)) e mostrare che questo è omeomorfo al disco di raggio 1 privato dell'origine.
Scusate scrivevo da cellulare.
Io suggerirei di dimostrare che $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ è omeomorfo a $S^1\times ]0,+\infty[$...
Io suggerirei di dimostrare che $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ è omeomorfo a $S^1\times ]0,+\infty[$...
"megas_archon":
Il suggerimento che darei a OP è di fare il disegno di un cilindro \(S^1\times ]0,1[\) (così da dover gestire uno sottospazio limitato di \(\mathbb R^3\)) e mostrare che questo è omeomorfo al disco di raggio 1 privato dell'origine.
Vediamo se ho capito, intanto il disegno è così:
Quello che mi hai suggerito in pratica è di dimostrare che preso un punto sulla superficie del cilindro posso costruire un omeomorfismo che me lo manda in un punto sul disco di centro $O$ privato del centro $O$?
Il disco è aperto, cosa che ho dimenticato di scrivere. L'omeomorfismo è "manda il cerchio ad altezza $z$ nel cilindro nel cerchio di raggio $z$ nel disco": come si parametrizza? Se sai fare questo per \(z\in]0,1[\), non c'è differenza col farlo per \(z\in\mathbb R\).
Ok, allora in teoria l'omeomorfismo da $RR^2\\{0}$ a $S^1xxRR$ dovrebbe essere $(x/sqrt(x^2+y^2), y/sqrt(x^2+y^2),ln(x^2+y^2))$.
"andreadel1988":
Ok, allora in teoria l'omeomorfismo da $ RR^2\\{0} $ a $ S^1xxRR $ dovrebbe essere $ (x/sqrt(x^2+y^2), y/sqrt(x^2+y^2),ln(x^2+y^2)) $.
Chiedo a te @megas_archon dato che non sono sicuro. Più che altro quel $ln(x^2+y^2)$ in teoria dovrebbe generarmi tutto $RR$...
"ViciousGoblin":
Scusate scrivevo da cellulare.
Io suggerirei di dimostrare che $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ è omeomorfo a $S^1\times ]0,+\infty[$...
Posto $S^1xx]0,+infty[={(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2=1, z>0}$ ti direi che un omeomorfismo da $RR^2\\{0}$ a $S^1xx]0,+infty[$ è $(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2),x^2+y^2)$
Certo! Io avrei messo la radice di $x^2+y^2$ pensando alle coordinate polari, ma è lo stesso. Poi se fai come nell'altro post passi dai numeri positivi a tutto $\mathbb{R}$.
Non è più semplice scrivere l'omeomorfismo in coordinate cilindriche? Se il raggio $r$ del cilindro è costante, tutti i suoi punti sono della forma \((r,\theta,z)\), ma allora l'omeomorfismo è \((r,\theta,z)\mapsto ze^{i\theta}\)...
[bgcolor=][/bgcolor]Ma non si parte dal piano? (Meno un punto). Cioè tu vedi il cilindro immerso nello spazio e scrivi l'inversa?
"megas_archon":
Non è più semplice scrivere l'omeomorfismo in coordinate cilindriche? Se il raggio $r$ del cilindro è costante, tutti i suoi punti sono della forma \((r,\theta,z)\), ma allora l'omeomorfismo è \((r,\theta,z)\mapsto ze^{i\theta}\)...
Questa mappa non è iniettiva. Punti simmetrici rispetto a zero nel cilindro vanno nello stesso punto del piano.
Scusatemi, sono le prime lezioni di topologie quindi uso idee intuitive, non so quindi quale sia più semplice o meno, perciò chiedo aiuto.
"ViciousGoblin":
Certo! Io avrei messo la radice di $x^2+y^2$ pensando alle coordinate polari, ma è lo stesso. Poi se fai come nell'altro post passi dai numeri positivi a tutto $\mathbb{R}$.
Anche io avevo pensato di mettere la radice quadrata, ma non capisco la differenza fra metterla e non. Ce cosa cambierebbe? E poi non ho capito "se fai come nell'altro post?" cosa intendi
"andreadel1988":
Anche io avevo pensato di mettere la radice quadrata, ma non capisco la differenza fra metterla e non. Ce cosa cambierebbe?i
Non cambierebbe nulla. Era solo che con la radice la corrispondenza tra il piano bucato e il cilindro sono in sostanza le coordinate polari (dove identifichi l'argomento col corrispondente punto della circonferenza). SOlo per dirti come ci ero arrivato io.
"andreadel1988":
[quote="andreadel1988"]Ok, allora in teoria l'omeomorfismo da $ RR^2\\{0} $ a $ S^1xxRR $ dovrebbe essere $ (x/sqrt(x^2+y^2), y/sqrt(x^2+y^2),ln(x^2+y^2)) $.
Chiedo a te @megas_archon dato che non sono sicuro. Più che altro quel $ln(x^2+y^2)$ in teoria dovrebbe generarmi tutto $RR$...[/quote]
Questo è l'altro post di cui parlavo (è giusto!).
Ok, grazie. Mi sapresti dire come saresti passato da $(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2),sqrt(x^2+y^2))$ a $(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2),ln(x^2+y^2))$
"ViciousGoblin":
[quote="megas_archon"]Non è più semplice scrivere l'omeomorfismo in coordinate cilindriche? Se il raggio $r$ del cilindro è costante, tutti i suoi punti sono della forma \((r,\theta,z)\), ma allora l'omeomorfismo è \((r,\theta,z)\mapsto ze^{i\theta}\)...
Questa mappa non è iniettiva. Punti simmetrici rispetto a zero nel cilindro vanno nello stesso punto del piano.[/quote]
Non ho capito, forse perché manca un fattore 2? Ho scritto di fretta e non sto controllando, comunque "mandare il cerchio ad altezza z nel cerchio di raggio z" è la mappa descritta a parole, ed è esattamente quella giusta...
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