$RR^2\\{0}$ è omeomorfo a $S^1xxRR$
Si provi che $RR^2\\{0}$ è omeomorfo a $S^1xxRR$. Io pensato che basta mostrare che $S^1$ è omeomorfo a $RR\\{0}$ trovata la funzione $f$ che rende li rende omeomorfi ho che la funzione $g:S^1xxRR->RR^2\\{0}$ con $g(P,y)=(f(P),y)$ è omeomorfismo (dove $P$ è un punto su $S^1$). Ora $f$ l'ho identificata attraverso questo disegno:
Però come faccio a trovare esplicitamente $f$? E soprattutto non mi è chiaro perchè $S^1$ è omeomorfo a $RR\\{0}$ invece che a $RR$.
Però come faccio a trovare esplicitamente $f$? E soprattutto non mi è chiaro perchè $S^1$ è omeomorfo a $RR\\{0}$ invece che a $RR$.
Risposte
"andreadel1988":
Ok, grazie. Mi sapresti dire come saresti passato da $(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2),sqrt(x^2+y^2))$ a $(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2),ln(x^2+y^2))$
Cercando un omeomorfismo $\phi$ da $]0,+\infty[$ a $]-\infty,+\infty[$. Allora se hai un omeomorfismo $\Phi$ da $\mathbb{R}^2\setminus{0}$ a $S^1\times]0,+\infty[$ puoi definire $\Psi$ da $\mathbb{R}^2\setminus{0}$ a $S^1\times]-\infty,+\infty[$ semplicemente come $Psi(x,y):=(Phi_x(x,y),Phi_y(x,y),\phi(\Phi_z(x,y)))$.
Nota che $\Psi=\Delta\circ\Phi$ dove $\Delta(x,y,z):=(x,y,\phi(z))$ , dunque $\Psi$ è composizione di due omeomorfismi e quindi è un omeomorfismo.
Nel tuo caso $\phi(t)=2\ln(t)$ - una qualunque $phi:]0,+\infty[\to\mathbb {R}$ continua strettamente crescente con $\lim_{t\to0^+}\phi(t)=-\infty$ e $\lim_{t\to+\infty}\phi(t)=+\infty$ andrebbe bene.
Intuitivamente devi "tirare per la base inferiore" il cilindro $S^1\times]0,+\infty[$ e mandare la base inferiore a $-\infty$
"megas_archon":
[quote="ViciousGoblin"][quote="megas_archon"]Non è più semplice scrivere l'omeomorfismo in coordinate cilindriche? Se il raggio $r$ del cilindro è costante, tutti i suoi punti sono della forma \((r,\theta,z)\), ma allora l'omeomorfismo è \((r,\theta,z)\mapsto ze^{i\theta}\)...
Questa mappa non è iniettiva. Punti simmetrici rispetto a zero nel cilindro vanno nello stesso punto del piano.[/quote]
Non ho capito, forse perché manca un fattore 2? Ho scritto di fretta e non sto controllando, comunque "mandare il cerchio ad altezza z nel cerchio di raggio z" è la mappa descritta a parole, ed è esattamente quella giusta...[/quote]
Ma no, non è quello. La tua mappa va bene per il cilindro superiore $S^1\times]0,+\infty[$ (ed è la stessa cosa che dicevo in precedenza, solo che io costruivo la mappa inversa della tua). Se parti da tutto il cilindro hai anche gli $z$ negativi e allora la tua mappa non è più iniettiva. Per esempio, partendo da $\theta=0$, $z=1$ o da $\theta=\pi$ $z=-1$ vedi che $ze^{i\theta}$ fa sempre a $(1,0)$ (avresti anche $z=0$ che però finisce in $(0,0)$ e questo non ti darebbe fastidio).
"andreadel1988":
Scusatemi, sono le prime lezioni di topologie quindi uso idee intuitive, non so quindi quale sia più semplice o meno, perciò chiedo aiuto.
Perché mai dovresti scusarti. Il forum serve a questo. Se rispondiamo vuol dire che ci va di farlo
.
Ah, ok, io rispondevo comunque alla domanda che ho fatto io: l'omeomorfismo tra il disco aperto bucato e il cilindro \(S^1\times ]0,1[\), non è la domanda di OP ma come gli ho detto capito quello è tutto in discesa
"megas_archon":
l'omeomorfismo tra il disco aperto bucato e il cilindro \(S^1\times ]0,1[\)...
Che sarebbe $(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2),sqrt(x^2+y^2))$
"ViciousGoblin":
Cercando un omeomorfismo $\phi$ da $]0,+\infty[$ a $]-\infty,+\infty[$. Allora se hai un omeomorfismo $\Phi$ da $\mathbb{R}\setminus{0}$ a $S^1\times]0,+\infty[$ puoi definire $\Psi$ da $\mathbb{R}\setminus{0}$ a $S^1\times]-\infty,+\infty[$ semplicemente come $Psi(x,y):=(Phi_x(x,y),Phi_y(x,y),\phi(\Phi_z(x,y)))$...
Intendi $RR^2\\{0}$?
sisi certo -correggo
"megas_archon":
Ah, ok, io rispondevo comunque alla domanda che ho fatto io: l'omeomorfismo tra il disco aperto bucato e il cilindro \(S^1\times ]0,1[\), non è la domanda di OP ma come gli ho detto capito quello è tutto in discesa
OK - ci siamo capiti allora (ognuno seguiva il suo filo...).
Per completare l argomento le due funzioni sono:
$f:S^1xxRR->RR^2\\{0}$ e $g:RR^2\\{0}->S^1xxRR$ definite come $f($ $(x,y,z)$ $)=(xe^z,ye^z)$ e $g($ $(x,y,z)$ $)=(x/(sqrt(x^2+y^2)),y/(sqrt(x^2+y^2)),ln(sqrt(x^2+y^2)))$ sono una inversa dell alrta e sono entrambe continue e quindi sono gli omeomorfismi cercati.
$f:S^1xxRR->RR^2\\{0}$ e $g:RR^2\\{0}->S^1xxRR$ definite come $f($ $(x,y,z)$ $)=(xe^z,ye^z)$ e $g($ $(x,y,z)$ $)=(x/(sqrt(x^2+y^2)),y/(sqrt(x^2+y^2)),ln(sqrt(x^2+y^2)))$ sono una inversa dell alrta e sono entrambe continue e quindi sono gli omeomorfismi cercati.
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