RP1 diffeomorfo a S^1
Dovrei dimostrare che $\mathbb{R}P^1$ è diffeomorfo a $S^1$. Non chiedo lo svolgimento dell'esercizio ma solo un dubbio concettuale che non ho trovato da altre parti.
La funzione che va dalla sfera $S^1$ al piano proiettivo, deve essere un diffeomorfismo globale? Cioè è (come minimo) necessario che sia biettiva ovunque?
Oppure è sufficiente che questa proprietà valga per le singole carte? Ovvero che sia un diffeomorfismo la funzione $\psi_i \circ F \circ \phi_j^{-1}$ per ogni coppia di $i$ e $j$? Dove con $\phi_j$ e $\psi_i$ sono le carte della sfera e del piano proiettivo.
Quindi concretamente: posso usare la proiezione stereografica proiettando su due rette diverse (in modo da raggirare il punto all'infinito)? In questo modo otterrei un diffeomorfismo locale (per tutte le coppie di carte) ma ovviamente si perde l'iniettività globalmente.
In caso contrario sarei costretto a fare la proiezione stereografica su una sola retta e associare al polo di proiezione il punto all'infinito ma sarebbe un pochino più scomodo (seppur biettiva globalmente stavolta).
La funzione che va dalla sfera $S^1$ al piano proiettivo, deve essere un diffeomorfismo globale? Cioè è (come minimo) necessario che sia biettiva ovunque?
Oppure è sufficiente che questa proprietà valga per le singole carte? Ovvero che sia un diffeomorfismo la funzione $\psi_i \circ F \circ \phi_j^{-1}$ per ogni coppia di $i$ e $j$? Dove con $\phi_j$ e $\psi_i$ sono le carte della sfera e del piano proiettivo.
Quindi concretamente: posso usare la proiezione stereografica proiettando su due rette diverse (in modo da raggirare il punto all'infinito)? In questo modo otterrei un diffeomorfismo locale (per tutte le coppie di carte) ma ovviamente si perde l'iniettività globalmente.
In caso contrario sarei costretto a fare la proiezione stereografica su una sola retta e associare al polo di proiezione il punto all'infinito ma sarebbe un pochino più scomodo (seppur biettiva globalmente stavolta).
Risposte
Un diffeomorfismo e' una funzione biiettiva che sia differenziabile e con inversa differenziabile. Quindi la condizione e' globale.
Un diffeomorfismo, se vogliamo, e' un omeomorfismo con qualche proprieta' di regolarita' in piu'. Quindi prima di tutto deve conservare le proprieta' topologiche globali, e una mappa locale chiaramente non lo fa.
Un diffeomorfismo, se vogliamo, e' un omeomorfismo con qualche proprieta' di regolarita' in piu'. Quindi prima di tutto deve conservare le proprieta' topologiche globali, e una mappa locale chiaramente non lo fa.
Un diffeomorfismo locale non è necessariamente un differeomorfismo globale. Puoi pensare ad \(\mathbb R\) e \(S^1\). C'è sicuramente un diffeomorfismo locale tra carte, ma non c'è un diffeomorfismo globale. È necessario quindi dimostrare anche la globalità della mappa (devi insomma dimostrare che la mappa è biettiva)...
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