Rouche-Capelli caso r<n
Ciao a tutti, come da titolo non riesco a convicermi di ciò che dice Rouche-Capelli per quanto riguarda ilc aso in cui il rango di matrice di partenza e matrice completa coincidano con un valore minore del numero di colonne della matrice di partenza.Dal libro non capisco nulla perchè si avvale di una dimostrazione dove figurano "Ker" e via dicendo che non abbiamo mai fatto.Non capisco,prima di tutto, perchè siano infinite e secondo perchè dipendano da n-r parametri scelti arbitrariamente. Grazie mille,ciao!
Risposte
@Satiro,
per prima cosa il teorema di Rouchè-Capelli non dice questo, dice altro [nota]sinceramente in alcuni testi ho incontrato due teoremi di Rouchè-Capelli, uno dei quali è quello che tutti conoscono l'altro è una cosa di niente.. ma non solo, ho trovato nel libro del diavolo (per come lo vedo io), ovvero "Corso di Geometria di Mairus Ion Stoka", delle versioni di Rouchè-Capelli alquanto strane e inusuali (ma interessanti)...[/nota], principalmente dice quando un sistema lineare è compatibile, nel caso in cui è compatibile ma il rango della matrice completa è minore del numero delle incognite allora il sistema dicesi "indeterminato" e il fatto di dire che ha infinite soluzioni, "\(\infty \) soluzioni", è solo "un modo di dire", anzi si dice spesse volte che ha "\(\infty^{n-\mathbf{rnk}(A)} \) [nota]ove \( A \) è la matrice associata al sistema lineare[/nota] soluzioni"... ovviamente se è determinato le soluzioni sono date dal teorema di Cramer, nel caso in cui è indeterminato le soluzioni sono date da altre considerazioni algebriche... purtroppo io ormai procedo ad intuito e la dimostrazione che l'insieme delle soluzione di un sistema indeterminato è "rappresentato" con incognite libere non la ricordo (per quanto ricordi invece che la proof era interessante).. il mio modo di procedere/scrivere mi permette di dire subito da \(\infty^{n-\mathbf{rnk}(A)} \) soluzioni" che avrò \(n-\mathbf{rnk}(A) \) incognite libere e scegliendole opportunamente e facendo considerazioni su matrici simili riconduco il tutto ad un sistema ridotto sul quale posso anche riapplicare Cramer o procedere con sostituzione o altro ancora...
Saluti
edit ora che ricordo bene il discorso vale anche per sistemi determinati.. mi hai fatto venire voglia di scovare il testo dove ho letto la dimostrazione..
"Satiro":
Ciao a tutti, come da titolo non riesco a convicermi di ciò che dice Rouche-Capelli per quanto riguarda ilc aso in cui il rango di matrice di partenza e matrice completa coincidano con un valore minore del numero di colonne della matrice di partenza.Dal libro non capisco nulla perchè si avvale di una dimostrazione dove figurano "Ker" e via dicendo che non abbiamo mai fatto.Non capisco,prima di tutto, perchè siano infinite e secondo perchè dipendano da n-r parametri scelti arbitrariamente. Grazie mille,ciao!
per prima cosa il teorema di Rouchè-Capelli non dice questo, dice altro [nota]sinceramente in alcuni testi ho incontrato due teoremi di Rouchè-Capelli, uno dei quali è quello che tutti conoscono l'altro è una cosa di niente.. ma non solo, ho trovato nel libro del diavolo (per come lo vedo io), ovvero "Corso di Geometria di Mairus Ion Stoka", delle versioni di Rouchè-Capelli alquanto strane e inusuali (ma interessanti)...[/nota], principalmente dice quando un sistema lineare è compatibile, nel caso in cui è compatibile ma il rango della matrice completa è minore del numero delle incognite allora il sistema dicesi "indeterminato" e il fatto di dire che ha infinite soluzioni, "\(\infty \) soluzioni", è solo "un modo di dire", anzi si dice spesse volte che ha "\(\infty^{n-\mathbf{rnk}(A)} \) [nota]ove \( A \) è la matrice associata al sistema lineare[/nota] soluzioni"... ovviamente se è determinato le soluzioni sono date dal teorema di Cramer, nel caso in cui è indeterminato le soluzioni sono date da altre considerazioni algebriche... purtroppo io ormai procedo ad intuito e la dimostrazione che l'insieme delle soluzione di un sistema indeterminato è "rappresentato" con incognite libere non la ricordo (per quanto ricordi invece che la proof era interessante).. il mio modo di procedere/scrivere mi permette di dire subito da \(\infty^{n-\mathbf{rnk}(A)} \) soluzioni" che avrò \(n-\mathbf{rnk}(A) \) incognite libere e scegliendole opportunamente e facendo considerazioni su matrici simili riconduco il tutto ad un sistema ridotto sul quale posso anche riapplicare Cramer o procedere con sostituzione o altro ancora...
Saluti
edit ora che ricordo bene il discorso vale anche per sistemi determinati.. mi hai fatto venire voglia di scovare il testo dove ho letto la dimostrazione..
Grazie però guarda,sono talmente indietro che non immagini, sono fermo da due giorni su questo benedetto teorema,ma a dire il vero ho fatto male tutto nel tentativo di restare al passo. Per esempio,va bene che abbiamo appena iniziato le matrici, ma come si risolve un sistema con M equazioni ed N incognite? con N>M sempre,perchè di primo getto mi verrebbe da pensare che se non è quadrata allora sono fregato.
Seconda cosa il numero di equazioni dipende dal numero di elementi lineramente indipendenti?
Terza cosa,per quanto riguarda il rango, il rango della matrice completa come si determina? mi basta concatenare le due matrici->(A|B) e ridurre per colonne (o per righe) fino a trovare le colonne linearmente indipendenti?
Quarta cosa, è possibile che nella dimostrazione che ho io non sia riportato il perchè,nel primo caso di Rouché-Capelli, il rango coincida con il numero di colonne di A (a partire da AX=B) o forse è scontato perchè partiamo dal fatto che A abbia tot colonne,che,in combinazione lineare con la matrice delle incognite ci restituiscano B che quindi appartiene al sottospazio di A? in tal caso do per scontato che gli elementi di A siano tutti lineramente indipendenti.....
Scusa per la mole spaventosa di domande,che potrebbero essere benissimo affisse al muro della vergogna....Grazie ciao!
Seconda cosa il numero di equazioni dipende dal numero di elementi lineramente indipendenti?
Terza cosa,per quanto riguarda il rango, il rango della matrice completa come si determina? mi basta concatenare le due matrici->(A|B) e ridurre per colonne (o per righe) fino a trovare le colonne linearmente indipendenti?
Quarta cosa, è possibile che nella dimostrazione che ho io non sia riportato il perchè,nel primo caso di Rouché-Capelli, il rango coincida con il numero di colonne di A (a partire da AX=B) o forse è scontato perchè partiamo dal fatto che A abbia tot colonne,che,in combinazione lineare con la matrice delle incognite ci restituiscano B che quindi appartiene al sottospazio di A? in tal caso do per scontato che gli elementi di A siano tutti lineramente indipendenti.....
Scusa per la mole spaventosa di domande,che potrebbero essere benissimo affisse al muro della vergogna....Grazie ciao!
Chiederei a Sergio se potesse illustrare - anche sinteticamente - il caso di colonne linearmente dipendenti. E lo ringrazio anticipatamente. Devo dire che è grazie ai suoi interventi che ho veramente capito il Th. di Rouché - Capelli. Che "sapevo" - scolasticamente -. Come molte altre cose. Ma aver capito davvero e riuscire davvero a capire gli aspetti sottostanti agli esercizi che ti danno da fare è diverso. Anche i docenti - ogni tanto - dovrebbero impiegare almeno sette minuti a spiegare le cose in questo modo. Così uno le ha capite per sempre e non se le dimentica più e riesce a fare gli esercizi con consapevolezza. Anche degli errori o degli approcci sbagliati . . . A volte la corretta, ma esclusiva formalizzazione matematica - per molti discenti - potrebbe essere il risultato della comprensione, ma non sempre il miglior approccio iniziale all'argomento trattato. Il grosso rischio consiste in una comprensione "formale". Cioè, non c'è una vera comprensione nella testa e si tenta di perseguire un approccio "formale" nella soluzione degli esercizi. Ed è qui che una persona intellettualmente onesta (almeno con se stessa) si rende conto di non aver capito granché: scarsi risultati concreti e demotivazione. Mi scuso per l'assenza di sintesi, ma riscontro che si tratta di difficoltà molto diffuse. E molto spesso sottaciute. Ancora grazie.
Grazie infinite! Estremamente chiaro! Sono riuscito anche a mantenere la lucidità sufficiente per rendermi conto che alla quarta riga occorrerebbe: "Se A avesse colonne linearmente dipendenti . . ." 
Ti chiedo solo se potessi suggerirmi un'interpretazione geometrica mentale della non-indipendenza delle colonne. Ha a che fare con la base della trasformazione? Ancora grazie.
Ti chiedo solo se potessi suggerirmi un'interpretazione geometrica mentale della non-indipendenza delle colonne. Ha a che fare con la base della trasformazione? Ancora grazie.
Ti ringrazio comunque e spero che qualcuno possa accogliere la mia richiesta
di esempio di significato geometrico nel caso di colonne non linearmente
indipendenti nel Th. di Rouché-Capelli.
di esempio di significato geometrico nel caso di colonne non linearmente
indipendenti nel Th. di Rouché-Capelli.
Grazie mille!!! A tutti! 
Scusate se non rispondo subito ma con Telecom qui la linea cade solo a guardare le lucette del router. Ora ho sicuramente più chiaro il teorema di Rouché-Capelli grazie ancora, da me purtroppo vanno come dei treni e certe volte sono lì più per ricopiare dalla lavagna che per capire, inoltre il libro, che di per se non è male, di Enrico Schlesinger,però certe volte prorprio non riesco a capirlo.
Scusate se non rispondo subito ma con Telecom qui la linea cade solo a guardare le lucette del router. Ora ho sicuramente più chiaro il teorema di Rouché-Capelli grazie ancora, da me purtroppo vanno come dei treni e certe volte sono lì più per ricopiare dalla lavagna che per capire, inoltre il libro, che di per se non è male, di Enrico Schlesinger,però certe volte prorprio non riesco a capirlo.
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