Rotore del rotore di un tensore del secondo ordine
Non riesco proprio a calcolarlo... ecco come pensavo di procedere io
Sia [tex]A_{hk}[/tex] un tensore del secondo ordine
Il rotore di un tensore di ordine n è definito come il rotore di un vettore agente sull'ultimo indice del tensore (è così no? o il contrario? fa molta differenza?)
[tex]rot A= e_{ijk} A_{hk|j}[/tex]
dove [tex]e_{ijk}[/tex] è il tensore di Ricci o Levi-Civita che dir si voglia
e [tex]A_{hk|j}[/tex] è la derivata parziale rispetto alla j-esima variabile della componente hk
Ora,
[tex]rot\; rot A=e_{lmh} e_{ijk} A_{hk|j}[/tex]
ora a questo punto non so come procedere perché non so esprimere in termini semplici il prodotto tensoriale [tex]e\otimes e[/tex]
come posso risolvere?
grazie
Sia [tex]A_{hk}[/tex] un tensore del secondo ordine
Il rotore di un tensore di ordine n è definito come il rotore di un vettore agente sull'ultimo indice del tensore (è così no? o il contrario? fa molta differenza?)
[tex]rot A= e_{ijk} A_{hk|j}[/tex]
dove [tex]e_{ijk}[/tex] è il tensore di Ricci o Levi-Civita che dir si voglia
e [tex]A_{hk|j}[/tex] è la derivata parziale rispetto alla j-esima variabile della componente hk
Ora,
[tex]rot\; rot A=e_{lmh} e_{ijk} A_{hk|j}[/tex]
ora a questo punto non so come procedere perché non so esprimere in termini semplici il prodotto tensoriale [tex]e\otimes e[/tex]
come posso risolvere?
grazie
Risposte
il mio problema è trovare nella meccanica dei continui in regime di deformazione infinitesima
la condizione [tex]rot \;rot \epsilon=0[/tex] espressa in componenti di epsilon, dove epsilon è un tensore del secondo ordine,
please help, la condizione ce l'ho ma se dovessi ricavarla da solo non lo saprei fare, come posso procedere?
la condizione [tex]rot \;rot \epsilon=0[/tex] espressa in componenti di epsilon, dove epsilon è un tensore del secondo ordine,
please help, la condizione ce l'ho ma se dovessi ricavarla da solo non lo saprei fare, come posso procedere?
up...
Nella meccanica dei continui le condizioni di congruenza si dimostrano essere [tex]rot\; rot \epsilon=0[/tex]
Poi tutti dicono che le seguenti condizioni sono la stessa cosa
[tex]\partial_{hk} \epsilon_{ij} +\partial_{ij} \epsilon_{hk}= \partial_{jk} \epsilon_{ih} + \partial_{jk} \epsilon_{ih}[/tex]
Come faccio a ricavare queste ultime dalla condizione sul doppio rotore?
Oltretutto l'operazione di rotore non modifica l'ordine tensoriale e quindi il doppio rotore è un tensore del secondo ordine,
mentre le seconde condizioni sono un tensore del quarto ordine, poiché ci sono 4 indici liberi.
Non possono essere la stessa scrittura...
Poi tutti dicono che le seguenti condizioni sono la stessa cosa
[tex]\partial_{hk} \epsilon_{ij} +\partial_{ij} \epsilon_{hk}= \partial_{jk} \epsilon_{ih} + \partial_{jk} \epsilon_{ih}[/tex]
Come faccio a ricavare queste ultime dalla condizione sul doppio rotore?
Oltretutto l'operazione di rotore non modifica l'ordine tensoriale e quindi il doppio rotore è un tensore del secondo ordine,
mentre le seconde condizioni sono un tensore del quarto ordine, poiché ci sono 4 indici liberi.
Non possono essere la stessa scrittura...
perchè non lo fai dualmente, cioè trasformi tutto in forme differenziabili e non usi la proprietà che il $d^2=0$?
Chiamiamo
$B_{ih} = rot A_{hk} = epsilon_{ijk} A_{hk|j} $
quindi
$rot rot A_hk = rot B_{ih} = epsilon_{abh} B_{ih|b} = epsilon_{abh} epsilon_{ijk} A_{hk|jb}$
adesso usando le identità che trovi qui espliciti quel prodotto in funzione delle delta di Kronecker e sommi...
$B_{ih} = rot A_{hk} = epsilon_{ijk} A_{hk|j} $
quindi
$rot rot A_hk = rot B_{ih} = epsilon_{abh} B_{ih|b} = epsilon_{abh} epsilon_{ijk} A_{hk|jb}$
adesso usando le identità che trovi qui espliciti quel prodotto in funzione delle delta di Kronecker e sommi...
Vi ringrazio per le risposte,
Perché non so di cosa tu stia parlando!
se mi illumini mi fa piacere
[tex]rot \;rot\epsilon= e_{ijk}e_{lmn}\; \epsilon_{kn|mj}[/tex]
Provando a usare la formula per il prodotto tensoriale [tex]e \otimes e[/tex] che mi hai linkato ottengo:
[tex]e_{ijk}e_{lmn}= \delta_{il} (\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}) - \delta_{im} (\delta_{jl}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{kl}) + \delta_{in} (\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})[/tex]
e quindi [tex]rot \;rot\epsilon= \delta_{il} (\epsilon_{kk|jj}-\epsilon_{kj|kj})- \delta_{im} (\epsilon_{kk|ml}-\epsilon_{lj|mj}) + \delta_{in} (\epsilon_{mn|ml}-\epsilon_{ln|jj})[/tex]
che diventa in notazione senza indici
[tex]I\; tr\Delta \epsilon-I\; div\, div \epsilon- \nabla\nabla tr\epsilon+ (\nabla div\epsilon)^T + \nabla div(\epsilon^T) - \Delta \epsilon^T=0[/tex]
dove [tex]I[/tex] è il tensore identità.
Anche ammesso che riuscissi a semplificare, rimarrebbe sempre un tensore del secondo ordine, bisogna fare qualche altra operazione per trasportare questa condizione
su un tensore del quarto ordine... no?
"alberto86":
perchè non lo fai dualmente, cioè trasformi tutto in forme differenziabili e non usi la proprietà che il $d^2=0$?
Perché non so di cosa tu stia parlando!
se mi illumini mi fa piacere
"alle.fabbri":
adesso usando le identità che trovi qui espliciti quel prodotto in funzione delle delta di Kronecker e sommi...
[tex]rot \;rot\epsilon= e_{ijk}e_{lmn}\; \epsilon_{kn|mj}[/tex]
Provando a usare la formula per il prodotto tensoriale [tex]e \otimes e[/tex] che mi hai linkato ottengo:
[tex]e_{ijk}e_{lmn}= \delta_{il} (\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}) - \delta_{im} (\delta_{jl}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{kl}) + \delta_{in} (\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})[/tex]
e quindi [tex]rot \;rot\epsilon= \delta_{il} (\epsilon_{kk|jj}-\epsilon_{kj|kj})- \delta_{im} (\epsilon_{kk|ml}-\epsilon_{lj|mj}) + \delta_{in} (\epsilon_{mn|ml}-\epsilon_{ln|jj})[/tex]
che diventa in notazione senza indici
[tex]I\; tr\Delta \epsilon-I\; div\, div \epsilon- \nabla\nabla tr\epsilon+ (\nabla div\epsilon)^T + \nabla div(\epsilon^T) - \Delta \epsilon^T=0[/tex]
dove [tex]I[/tex] è il tensore identità.
Anche ammesso che riuscissi a semplificare, rimarrebbe sempre un tensore del secondo ordine, bisogna fare qualche altra operazione per trasportare questa condizione
su un tensore del quarto ordine... no?
Ok, mi torna tutto usando la formula che ho trovato sopra svolgendo i conti.
Formula che comunque sono ancora convinto sia diversa da quella riportata nei libri
che è una condizione su un tensore del 4 ordine... mah
Comunque, esiste un modo per dimostrare le proprietà del tensore di levi civita senza perdere la testa?
Ad esempio mi basterebbe [tex]e_{ijk} e_{lmn}[/tex]...
Ho cercato un pò ma tutti citano le proprietà senza dimostrarle, il che mi fa pensare che le dim. siano complicatissime, o ovvie e io non le vedo...
Formula che comunque sono ancora convinto sia diversa da quella riportata nei libri
che è una condizione su un tensore del 4 ordine... mah
"Fox":
Anche ammesso che riuscissi a semplificare, rimarrebbe sempre un tensore del secondo ordine, bisogna fare qualche altra operazione per trasportare questa condizione
su un tensore del quarto ordine... no?
Comunque, esiste un modo per dimostrare le proprietà del tensore di levi civita senza perdere la testa?
Ad esempio mi basterebbe [tex]e_{ijk} e_{lmn}[/tex]...
Ho cercato un pò ma tutti citano le proprietà senza dimostrarle, il che mi fa pensare che le dim. siano complicatissime, o ovvie e io non le vedo...
... deve solo avere pazienza nei passaggi, forse si semplificano essendo il tensore doppio simmetrico:
$e_(ijk) e_(pqr)=e_(iqk) e_(pjk)$
Comunque credo che tu sia il primo che tenta di dimostrare la relazione direttamente, anche se fa caldo non rinunciare.
$e_(ijk) e_(pqr)=e_(iqk) e_(pjk)$
Comunque credo che tu sia il primo che tenta di dimostrare la relazione direttamente, anche se fa caldo non rinunciare.
"GIBI":
Comunque credo che tu sia il primo che tenta di dimostrare la relazione direttamente, anche se fa caldo non rinunciare.
ahah, ti ringrazio per l'incoraggiamento.
Non rinuncerò, solo vorrei trovare una strada che non mi faccia ammattire
A parte la pazienza, ma almeno che non vada a sostituire ad uno ad uno i numeri negli indici [tex]i,j,k,l,m,n[/tex] (strada che mi sembra folle)
non saprei davvero come proseguire in quel calcolo...
Il fatto che sia simmetrico mi permette di calcolarmi solo la metà dei numeri, ma ancora non mi aiuta nello svolgere i calcoli...
Come si fa? Speriamo sia il caldo
... e per Schwarz è pure simmetrico negli indici delle derivate parziali:
$E_(ij,kl)=E_(ji,kl)=E_(ij,lk)=E_(ji,lk)$
conviene prima vedere se la relazione che lega $e_(ijk)$ e $\delta_(ij)$ si semplifica.
ps. l'altra soluzione, più comoda, è far fare i calcoli ... a chi ti tiene il corso.
$E_(ij,kl)=E_(ji,kl)=E_(ij,lk)=E_(ji,lk)$
conviene prima vedere se la relazione che lega $e_(ijk)$ e $\delta_(ij)$ si semplifica.
ps. l'altra soluzione, più comoda, è far fare i calcoli ... a chi ti tiene il corso.
Risveglio questo topic per sapere se qualcuno avesse alla fine trovato una dimostrazione concisa dell'equivalenza delle due formulazioni delle equazioni di congruenza interna...
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