Rotazioni di un cubo
Temo di esser preso per scemo facendo questa domanda ma non riesco a trovare una risposta soddisfacente. 
Dunque: io considero un cubo centrato in $O=(0,0,0)$ di lato 2 e lo voglio ruotare attorno ad un asse. Suppongo di ruotare attorno all'asse x di un angolo $theta$. Io so che in questo caso per calcolare le nuove coordinate dei vertici posso usare la relazione:
$\{(x'=x),(y'=y cos\theta - z sen\theta),(z' = y sen\theta + z cos\theta):}$
Ora, si vede subito che se giro di $2\pi$ ottengo esattamente le stesse coordinate, così come deve essere.
Il dubbio mi viene da questo fatto: invece di fare un'unica rotazione di $2\pi$ suppongo di voler "spezzare" questo movimento in tante piccole rotazioni tutte nello stesso verso. In questo caso il risultato dovrebbe essere equivalente nel caso in cui la somma di tutti gli angoli di rotazioni sia $2\pi$. Però applicando il metodo scritto sopra io continuo a moltiplicare le coordinate per coefficienti dati da seno e coseno, ovvero continuo a moltiplicare per valori compresi tra $-1$ ed $1$... non è che "mi si restringe" il cubo?
Per dire, alla seconda rotazione avrei già:
$\{(x''=x),(y''=(y cos\theta_1 - z sen\theta_1)cos\theta_2 - (y sen\theta_1 + z cos\theta_1)sen\theta_2),(z'' = (y cos\theta_1 - z sen\theta_1)sen\theta_2 + (y sen\theta_1 + z cos\theta_1)cos\theta_2):}$
Mi è nato questo dubbio, scusate se è una cosa sciocca
Dunque: io considero un cubo centrato in $O=(0,0,0)$ di lato 2 e lo voglio ruotare attorno ad un asse. Suppongo di ruotare attorno all'asse x di un angolo $theta$. Io so che in questo caso per calcolare le nuove coordinate dei vertici posso usare la relazione:
$\{(x'=x),(y'=y cos\theta - z sen\theta),(z' = y sen\theta + z cos\theta):}$
Ora, si vede subito che se giro di $2\pi$ ottengo esattamente le stesse coordinate, così come deve essere.
Il dubbio mi viene da questo fatto: invece di fare un'unica rotazione di $2\pi$ suppongo di voler "spezzare" questo movimento in tante piccole rotazioni tutte nello stesso verso. In questo caso il risultato dovrebbe essere equivalente nel caso in cui la somma di tutti gli angoli di rotazioni sia $2\pi$. Però applicando il metodo scritto sopra io continuo a moltiplicare le coordinate per coefficienti dati da seno e coseno, ovvero continuo a moltiplicare per valori compresi tra $-1$ ed $1$... non è che "mi si restringe" il cubo?
Per dire, alla seconda rotazione avrei già:
$\{(x''=x),(y''=(y cos\theta_1 - z sen\theta_1)cos\theta_2 - (y sen\theta_1 + z cos\theta_1)sen\theta_2),(z'' = (y cos\theta_1 - z sen\theta_1)sen\theta_2 + (y sen\theta_1 + z cos\theta_1)cos\theta_2):}$
Mi è nato questo dubbio, scusate se è una cosa sciocca
Risposte
"Injo":Non ti si restringe niente. Quando il seno arretra il coseno avanza (e viceversa) in maniera tale che le distanze del tuo cubo restino invariate. E' proprio questo il significato della notissima identità
non è che "mi si restringe" il cubo?
$cos^2 \theta+sin^2 \theta=1$.
Per provarlo, calcola $sqrt((x')^2+(y')^2+(z')^2)$ e vedrai che viene fuori $1$.
Immaginavo fosse una sciocchezza. Grazie.
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