Rotazioni attorno una retta nello spazio
Ho l'esercizio:
" Nello spazio affine $AA^3$ siano fissate coordinate affini ${x, y, z}$. Sia r la retta $x + y + z =1, z = 1.$
Determinare la matrice associata alla rotazione in senso orario di 45 gradi attorno a r."
(ho modificato il messaggio, che prima avevo postato il testo di quest'altro esercizio, che poi è molto simile:
" Sia fissato un riferimento ortogonale nello spazio $R^3$ con coordinate ${x, y, z}$. Sia r la retta
di equazione $ x − y = 0, z = 0 $ Determinare la matrice associata alla trasformazione affine data
dalla rotazione di angolo $\pi/4 $ attorno alla retta r.")
pensavo di usare matrici 4x4 e impostare così il problema:
chiamo la trasformazione affine $ A: RR^3 rarr RR^3 $
$ A: (x,y,z) rarr (x',y',z') $
$A((x),(y),(z),(0)) = ((x'),(y'),(z'),(0))$
- dove ho messo come quarta entrata del vettore colonna associato ad 0, per usare matrici 4X4 (necessarie per le traslazioni).
la mia idea è di cambiare sistema di riferimento, per andare in un sistema in cui l'asse x corrisponda alla retta attorno alla quale vogliamo effettuare la rotazione.
quindi devo prima traslare in modo che l'origine $(0,0,0) in r$, e poi effettuare un cambiamento di base, per ruotare gli assi in modo che l'asse x corrisponda alla retta r, e infine applicare la rotazione di $\pi/4$. quindi, chiamando
T =la matrice di traslazione
C= la matrice di cambiameento di base
R = e la matrice di rotazione di $\pi/4$ attorno all'asse x
allora si ha
$ A = T^-1 C^t R C T$
mi so calcolare tutte queste matrici tranne quella del cambiamento di base.
qualcuno sa come si fa? o magari c'è proprio un modo diverso di affrontare l'esercizio?
" Nello spazio affine $AA^3$ siano fissate coordinate affini ${x, y, z}$. Sia r la retta $x + y + z =1, z = 1.$
Determinare la matrice associata alla rotazione in senso orario di 45 gradi attorno a r."
(ho modificato il messaggio, che prima avevo postato il testo di quest'altro esercizio, che poi è molto simile:
" Sia fissato un riferimento ortogonale nello spazio $R^3$ con coordinate ${x, y, z}$. Sia r la retta
di equazione $ x − y = 0, z = 0 $ Determinare la matrice associata alla trasformazione affine data
dalla rotazione di angolo $\pi/4 $ attorno alla retta r.")
pensavo di usare matrici 4x4 e impostare così il problema:
chiamo la trasformazione affine $ A: RR^3 rarr RR^3 $
$ A: (x,y,z) rarr (x',y',z') $
$A((x),(y),(z),(0)) = ((x'),(y'),(z'),(0))$
- dove ho messo come quarta entrata del vettore colonna associato ad 0, per usare matrici 4X4 (necessarie per le traslazioni).
la mia idea è di cambiare sistema di riferimento, per andare in un sistema in cui l'asse x corrisponda alla retta attorno alla quale vogliamo effettuare la rotazione.
quindi devo prima traslare in modo che l'origine $(0,0,0) in r$, e poi effettuare un cambiamento di base, per ruotare gli assi in modo che l'asse x corrisponda alla retta r, e infine applicare la rotazione di $\pi/4$. quindi, chiamando
T =la matrice di traslazione
C= la matrice di cambiameento di base
R = e la matrice di rotazione di $\pi/4$ attorno all'asse x
allora si ha
$ A = T^-1 C^t R C T$
mi so calcolare tutte queste matrici tranne quella del cambiamento di base.
qualcuno sa come si fa? o magari c'è proprio un modo diverso di affrontare l'esercizio?
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