Rotazioni.
Cercavo, su internet o su un qualsiasi testo, una dimostrazione che mi facesse capire come arrivare a porre in relazione le misure di un vettore in una sistema costituito dalla terna $x, y, z$ di assi cartesiani, e le misure dello stesso vettore in una seconda terna $x', y', z'$ ottenuta dalla prima per libera rotazione attorno all'origine.
Relazione che è possibile, come noto, indicare ricorrendo al formalismo delle matrici.
Riesco a trovare comunemente tale relazione quando uno degli assi rimane fisso. Non riesco ad estendere però il discorso al caso in cui nessuno degli assi rimanga fisso. Al caso in cui, cioè, $ x !-= x' ^^ y !-= y' ^^ z !-= z'$
Sapete aiutarmi?
P.S.- Con il simbolo $!-=$ indico la "non coincidenza" tra gli assi.
Relazione che è possibile, come noto, indicare ricorrendo al formalismo delle matrici.
Riesco a trovare comunemente tale relazione quando uno degli assi rimane fisso. Non riesco ad estendere però il discorso al caso in cui nessuno degli assi rimanga fisso. Al caso in cui, cioè, $ x !-= x' ^^ y !-= y' ^^ z !-= z'$
Sapete aiutarmi?
P.S.- Con il simbolo $!-=$ indico la "non coincidenza" tra gli assi.
Risposte
Mi pare che se nessun asse rimane fisso la matrice della rotazione sia più complicata da esprimere. Se non sbaglio sull'argomento c'è un teorema di Eulero secondo cui ogni rotazione si ottiene componendo due rotazioni con asse fisso, e di conseguenza conviene esprimere la corrispondente matrice come prodotto di due matrici di rotazione con asse fisso.
Ma attenzione perché sto parlando senza troppa coscienza della cosa.
Ma attenzione perché sto parlando senza troppa coscienza della cosa.
Qualsiasi rotazione in $RR^3$ può essere espressa come rotazione intorno ad un asse fisso. È quindi impossibile che non ci sia. Ti fornisco comunque una dimostrazione.
Considera la matrice $A \in SO(3)$. Voglio dimostrare che $1$ è autovalore di $A$.
$det(A - I) = det(A - A*A^T) = det(A(I - A)^T) = det(A)det((I - A)^T) = - det(A - I)$
$det(A - I)$ è quindi uguale a $0$.
Esiste quindi un sottospazio $$ che è asse fisso della rotazione.
Considera la matrice $A \in SO(3)$. Voglio dimostrare che $1$ è autovalore di $A$.
$det(A - I) = det(A - A*A^T) = det(A(I - A)^T) = det(A)det((I - A)^T) = - det(A - I)$
$det(A - I)$ è quindi uguale a $0$.
Esiste quindi un sottospazio $
Mi sono forse reso conto che ho frainteso cosa intendevi con asse fisso. Non mi è del tutto chiaro che informazioni hai. Sai come sono disposti gli assi $x'$, $y'$ e $z'$ o solo l'immagine del punto ruotato nel nuovo sistema? Nel primo caso è abbastanza facile ottenere la rotazione, nel secondo è semplicemente impossibile perché ci sono infinite rotazioni possibile (ci sono infatti infiniti archi di circonferenza che uniscono due punti...).
Puoi esprimere le nuove coordinate moltiplicando
per la matrice di cambiamento di base.
Invece di prenderla come "rotazione", puoi semplicemente considerare due terne.
O, per dirla in $RR^3$, due basi ortonormali.
Se considero i versori $e'_1,e'_2,e'_3$ della nuova terna, ognuno
di essi ha tre coordinate rispetto la vecchia terna.
Considera come colonne di una matrice 3x3 queste coordinate di $e'_1$...
e calcola la matrice inversa -che (!) in effetti ne è semplicemente la trasposta, essendo matrice ortonormale
Questa è la matrice $M$ di cambiamento di base. Se $X$ sono
le coordinate di un vettore (o di un punto in $E^3$) nelle "vecchia" base, come vettore colonna,
le "nuove" coordinate $X'$ sono: $X'=MX$.
Se avessi solo $X'$ e $X$, avresti infinito al quadrato possibili rotazioni (perchè?).
Se avessi le coordinate di due vettori indipendenti infinito; se le avessi di tre indipendenti una sola soluzione, per $M$.
per la matrice di cambiamento di base.
Invece di prenderla come "rotazione", puoi semplicemente considerare due terne.
O, per dirla in $RR^3$, due basi ortonormali.
Se considero i versori $e'_1,e'_2,e'_3$ della nuova terna, ognuno
di essi ha tre coordinate rispetto la vecchia terna.
Considera come colonne di una matrice 3x3 queste coordinate di $e'_1$...
e calcola la matrice inversa -che (!) in effetti ne è semplicemente la trasposta, essendo matrice ortonormale
Questa è la matrice $M$ di cambiamento di base. Se $X$ sono
le coordinate di un vettore (o di un punto in $E^3$) nelle "vecchia" base, come vettore colonna,
le "nuove" coordinate $X'$ sono: $X'=MX$.
Se avessi solo $X'$ e $X$, avresti infinito al quadrato possibili rotazioni (perchè?).
Se avessi le coordinate di due vettori indipendenti infinito; se le avessi di tre indipendenti una sola soluzione, per $M$.
Ora indico con $l_(ij)$ il generico elemento di $M^(-1)$, matrice
che ha, appunto, come suo elemento ij-esimo la coordinata del versore del "nuovo" asse $e'_j$ rispetto al vecchio $e_i$.
In effetti, un Tensore del primo ordine, o vettore, è proprio /definito/ come una entità
le cui coordinate $x_i$ in un riferimento, rispetto ad una rotazione del riferimento cambiano in coordinate$x_j$
tali che: $x_j =l_(ij)x_i$. - scritto
in "notazione indiciale", o "di Einstein" -che, una volta che ci ho fatto pratica, mi è proprio utile e simpatica -
"un indice ripetuto indica la somma rispetto a quell'indice":
così $x_1 = \sum_{i=1}^n l_(i1)v_i$, $ v_2=...$.
Che è a dire: $X'=((M^(-1))^T)X = MX$, "abituale" prodotto righe-per-colonne.
-mi vado scusando in anticipo se ho scambiato qualche indice...
che ha, appunto, come suo elemento ij-esimo la coordinata del versore del "nuovo" asse $e'_j$ rispetto al vecchio $e_i$.
In effetti, un Tensore del primo ordine, o vettore, è proprio /definito/ come una entità
le cui coordinate $x_i$ in un riferimento, rispetto ad una rotazione del riferimento cambiano in coordinate$x_j$
tali che: $x_j =l_(ij)x_i$. - scritto
in "notazione indiciale", o "di Einstein" -che, una volta che ci ho fatto pratica, mi è proprio utile e simpatica -
"un indice ripetuto indica la somma rispetto a quell'indice":
così $x_1 = \sum_{i=1}^n l_(i1)v_i$, $ v_2=...$.
Che è a dire: $X'=((M^(-1))^T)X = MX$, "abituale" prodotto righe-per-colonne.
-mi vado scusando in anticipo se ho scambiato qualche indice...
"orazioster":
tali che: $x_j =l_(ij)x_i$. - scritto
in "notazione indiciale", o "di Einstein"
Non so che notazione usi ma la notazione di Einstein necessità che l'indice della somma sia sia sopra che sotto.
Ragazzi, scusatemi se non vi ho risposto prima.
Non si tratta di un esercizio datomi, quanto di un esigenza che ho da tempo di riuscire a risolvere un "problema" di fisica (che nessuno mi ha dato, quindi non so fino a che livello possa essere fondato), che forse è meglio che vi espongo.
Il problema è quello di esprimere i versori $\hat r, \hat \theta, \hat \psi$ delle coordinate polari tramite i tre versori $\hat i, \hat j, \hat k$ delle coordinate cartesiane, facendo ricorso ai coseni direttori che indicano la direzione dei primi tre versori, quelli polari, appunto, rispetto alla terna di assi cartesiani "iniziale".
Tutto quello che so, i miei "dati", sono i tre angoli che un vettore $\vec r$, vettore che evidentemente si trova sulla direzione $\bar r$, forma con i tre assi cartesiani, ossia proprio $ \theta, \psi, \pi/2 - \theta$.
Di conseguenza, per il mio problema, serve conoscere nove numeri da inserire in una matrice $3 x 3$ per formare appunto la matrice delle rotazioni relativa al caso in esame.
Non chiedo in questa sede di risolvere l'intero problema. Chiedo solo di avere uno strumento per farlo, conoscere appunto quella "formula di Eulero" di cui ha parlato dissonance.
Non si tratta di un esercizio datomi, quanto di un esigenza che ho da tempo di riuscire a risolvere un "problema" di fisica (che nessuno mi ha dato, quindi non so fino a che livello possa essere fondato), che forse è meglio che vi espongo.
Il problema è quello di esprimere i versori $\hat r, \hat \theta, \hat \psi$ delle coordinate polari tramite i tre versori $\hat i, \hat j, \hat k$ delle coordinate cartesiane, facendo ricorso ai coseni direttori che indicano la direzione dei primi tre versori, quelli polari, appunto, rispetto alla terna di assi cartesiani "iniziale".
Tutto quello che so, i miei "dati", sono i tre angoli che un vettore $\vec r$, vettore che evidentemente si trova sulla direzione $\bar r$, forma con i tre assi cartesiani, ossia proprio $ \theta, \psi, \pi/2 - \theta$.
Di conseguenza, per il mio problema, serve conoscere nove numeri da inserire in una matrice $3 x 3$ per formare appunto la matrice delle rotazioni relativa al caso in esame.
Non chiedo in questa sede di risolvere l'intero problema. Chiedo solo di avere uno strumento per farlo, conoscere appunto quella "formula di Eulero" di cui ha parlato dissonance.
Sinceramente ho i miei dubbi sulla veridicità del "teorema di Eulero" esposto da dissonance. Prima di tutto $SO(3)$ è un gruppo di Lie di dimensione 3 ed è quindi localmente omeomorfo a $RR^3$ (è omeomorfo a $RRP^3$). Se fosse vero il "teorema di Eulero", si potrebbe ricoprire $SO(3)$ con carte di dimensione $2$ che è impossibile. Normalmente si usano $3$ rotazioni intorno all'origine, i cosidetti angoli di Eulero. Credo che il teorema sia quindi da correggere in "ogni rotazione in $RR^3$ è composizione di 3 rotazioni intorno agli assi coordinati". Nota comunque che scelto un ordine per le rotazioni, questa rappresentazione non ricopre completamente $SO(3)$ ma è singolare in alcuni casi. Si tratta infatti solo di una carta locale (anche se la ricopre quasi tutta). Una semplice ricerca dei termini "Euler Angles" su google o wikipedia ti fornirà un sacco di documentazione (e anche formule per convertire questa notazione nei coseni direttori e viceversa).
"apatriarca":
Sinceramente ho i miei dubbi sulla veridicità del "teorema di Eulero" esposto da dissonance. Prima di tutto $SO(3)$ è un gruppo di Lie di dimensione 3 ed è quindi localmente omeomorfo a $RR^3$ (è omeomorfo a $RRP^3$). Se fosse vero il "teorema di Eulero", si potrebbe ricoprire $SO(3)$ con carte di dimensione $2$ che è impossibile. Normalmente si usano $3$ rotazioni intorno all'origine, i cosidetti angoli di Eulero.
Si si ragazzi scusate, nel mio post precedente ho detto alcune fesserie, spero di non aver generato troppa confusione.
"vict85":
[quote="orazioster"]
tali che: $x_j =l_(ij)x_i$. - scritto
in "notazione indiciale", o "di Einstein"
Non so che notazione usi ma la notazione di Einstein necessità che l'indice della somma sia sia sopra che sotto.[/quote]
Pensavo che la notazione di E. fosse semplicemente quella indiciale.
Sopra e sotto non son indici diversi? covarianti e controvarianti (basta che non
mi chiedete cosa siano!)?
"orazioster":
[quote="vict85"][quote="orazioster"]
tali che: $x_j =l_(ij)x_i$. - scritto
in "notazione indiciale", o "di Einstein"
Non so che notazione usi ma la notazione di Einstein necessità che l'indice della somma sia sia sopra che sotto.[/quote]
Pensavo che la notazione di E. fosse semplicemente quella indiciale.
Sopra e sotto non son indici diversi? covarianti e controvarianti (basta che non
mi chiedete cosa siano!)?[/quote]
Ho appena notato che la pagina di Wiki in italiano ti dà ragione mentre quella in inglese e le mie dispense di fisica mate danno ragione a me...
Io non ho molto approfondito questa questione. Comunque gli indici sopra e sotto hanno un determinato significato e non servono solamente per indicare che va fatta la somma. http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation
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