Rotazione nello spazio

[luca.piacentini2]

Scrivere l'espressione della rotazione attorno alla retta passante per i punti $(0,-1,0)$ e $(1,-1,-1)$ che manda il punto $(sqrt(2),0,0)$ nel punto $(0,0,-sqrt(2))$

Non so davvero come procedere; conosco la matrice ortogonale che esprime la rotazione ovvero $((1,0,0),(0,cos\alpha,-sin\alpha),(0,sin\alpha,cos\alpha))$ ma cosa devo fare? Grazie mille!!

[luca.piacentini2]

Non capisco perchè non ricevo mai risposte.

[Sk_Anonymous]

Presumo che dopo tutto questo tempo tetris abbia già risolto la cosa. Rispondo quindi solo per ... la gloria . Per comodità di scrittura pongo :
$P equiv(0,-1,0),Q equiv (1,-1,-1),A equiv (sqrt 2,0,0,),B equiv (0,0,- sqrt 2),$
Il versore dell'asse $r$ è: $vec{u}={Q-P}/{sqrt 2}={(1,0,-1)}/{sqrt 2}$, mentre il vettore direzionale della retta AB è: $A-B=(sqrt2 ,0,sqrt 2)$
Come si può verificare, questi due ultimi vettori sono ortogonali e ciò assicura che una soluzione al quesito esiste.
Occorre calcolare ora l'ampiezza $ theta$ della rotazione che è poi quella che porta a coincidere A con B nella rotazione attorno all'asse $r$ nel piano $alpha$ . Tale ampiezza è quindi data dall'angolo ACB tra i vettori $A-C,B-C$ , essendo $C$ l'intersezione di $r$ col piano passante per $A$ ( o per$ B$) ed ortogonale ad $r$.
Ora le equazioni parametriche di $r$ sono :
1) \(\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=-1\\z=-t\end{cases} \)
mentre l'equazione del piano $alpha $ è :
2) $x-z-sqrt2 =0$
Facendo sistema tra (1) e (2) si ha il punto C: $C equiv ({sqrt 2}/2,-1,-{sqrt2}/2) $
Pertanto abbiamo che :
$A-C=({sqrt 2}/2,1,{sqrt 2}/2), B-C =(-{sqrt 2}/2,1,-{sqrt 2}/2)$
Si verifica facilmente che $A-C,B-C$ sono perpendicolari e dunque: $theta={pi}/2$
Ora è possibile calcolare la matrice di rotazione attorno ad $r$ che è formata dal prodotto delle isometrie seguenti:
a)la traslazione di versore $vec{u}={(1,0,-1)}/{sqrt 2}$
b) la rotazione di ampiezza $theta={pi}/2$ attorno all'asse passante per l'origine O e parallelo ad $r$
c) la (contro)traslazione di vettore $- vec{u}$
Per note formule sulle isometrie nello spazio, la matrice $M_1$ relativa all'operazione (a) è :
\(\displaystyle M_1=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&-1\\0&0&1&0 \\0&0&0&1 \end{pmatrix} \)
e quindi la matrice $M_3$, relativa all'operazione (c), è:
\(\displaystyle M_3=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0 \\0&0&0&1 \end{pmatrix} \)
La matrice $M_2$, relativa all'operazione (b), è :
\(\displaystyle M_2=\begin{pmatrix}1/2&1/{\sqrt 2}&-1/2&0\\-1/{\sqrt 2}&0&-1/{\sqrt 2}&0\\-1/2&1/{\sqrt2 }&1/2&0\\0&0&0&\ 1 \end{pmatrix} \)
A questo punto occorre eseguire il prodotto ordinato $M_1 cdot M_2 cdot M_3$ per avere la matrice M richiesta.
A meno di miei errori, si dovrebbe avere la matrice :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}1/2&1/{\sqrt 2}&-1/2&1/{\sqrt 2}\\-1/{\sqrt 2}&0&-1/{\sqrt 2}&-1\\-1/2&1/{\sqrt2 }&1/2&1/{\sqrt 2}\\0&0&0&1 \end{pmatrix} \)

[Seneca1]

"tetris10":Non capisco perchè non ricevo mai risposte.

Mai? Che avverbio di tempo estremo...