Rotazione e traslazione

[miuemia]

ciao a tutti,
ho un esercizio in cui mi si chiede di caratterizzare tutte le proiettività che determinano una traslazione in $A^3$ (spazio affine con coordinate non omogenee x,y,z) e tutte quelle che determinano una rotazione intorno all'asse z.
e nel testo dell'esercizio è data l'omogenizzazione $\alpha (x,y,z)=[x:y:z:1]$.

beh per il primo punto visto che una traslazione di vettore $v=(v_x,v_y,v_z)$ è tale che detto un vettore $P=(P_x,P_y,P_z)$
$T(P)=(P_x+v_x,P_y+v_y,P_z+v_z)$

le proiettività sono tutte della forma

$A=((1,0,0,v_x),(0,1,0,v_y),(0,0,1,v_z),(0,0,0,1))$ giusto? se è corretto vorrei chiedere una dimostrazione in quanto questa $A$ l'ho trovata ad occhio. magari c'è un modo più rigoroso per trovarla.

per il secondo punto ho ragionato nello stesso identico modo e ho trovato che le proiettvità che determinano una rotazione intorno all'asse z sono del tipo

$B=((cos\theta,-sin\theta,0,0),(sin\theta,cos\theta,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$

anche qui se è corretto, c'è un modo più rigoroso per trovarle?

grazie a tutti.

[miuemia]

ho pensato.... e mi pare corretto quello che ho scritto... in realtà ogni trasformazione affine passa sul proiettivo in modo simile.
spero che questo possa essere utile a qualcuno.
ciao a tutti