Rotazione degli assi
Ciao a tutti.
Per ridurre in forma canonica una quadrica devo prima applicare la rotazione in quanto è presente il monomio xy.
Ho la seguente quadrica $z^2+4xy+4y-1$
e a questa dovrei applicare la rotazione degli assi per togliere il monomio 4xy. Il problema è che la formula di rotazione degli assi presente nelle dispense, e negli esercizi di esempio, è la seguente:
$ { ( x=xcos\theta +y'sin\theta ),( y=-x'sin\theta + y'cos\theta ):} $
come si può ben vedere manca la rotazione per z... a questo punto vorrei sapere come posso fare visto che non ne ho veramentel a più pallida idea.
grazie
Per ridurre in forma canonica una quadrica devo prima applicare la rotazione in quanto è presente il monomio xy.
Ho la seguente quadrica $z^2+4xy+4y-1$
e a questa dovrei applicare la rotazione degli assi per togliere il monomio 4xy. Il problema è che la formula di rotazione degli assi presente nelle dispense, e negli esercizi di esempio, è la seguente:
$ { ( x=xcos\theta +y'sin\theta ),( y=-x'sin\theta + y'cos\theta ):} $
come si può ben vedere manca la rotazione per z... a questo punto vorrei sapere come posso fare visto che non ne ho veramentel a più pallida idea.
grazie
Risposte
Ma perchè vuoi ruotare anche z ?
Così complichi solo le cose.
Devi ruotare solo il piano xy, cioè ruotare attorno all'asse z.
Se applichi:
$ { ( x'=x\ cos\theta -y\ sin\theta ),( y'=x\ sin\theta + y\ cos\theta ):} $
con $\theta = (\pi) / 4$
vedrai dei buoni risultati.
PS. Scrivi bene le formule, grazie.
Così complichi solo le cose.
Devi ruotare solo il piano xy, cioè ruotare attorno all'asse z.
Se applichi:
$ { ( x'=x\ cos\theta -y\ sin\theta ),( y'=x\ sin\theta + y\ cos\theta ):} $
con $\theta = (\pi) / 4$
vedrai dei buoni risultati.
PS. Scrivi bene le formule, grazie.
scusa per la lettera greca... non pensavo fosse importante 
ok mi torna il tuo ragionamento. ci stavo provando ieri sera...
Mi viene questa situazione: $z^2 -2x'^2 + 2y'^2 - 2sqrt2x' +2sqrt2y' -1 =0$
A questo punto si deve applicare la traslazione giusto? Il problema è che da una parte ho la z, dall'altra ho x' e y', cioè sono incognite diverse no?
Se io vado ad applicare la traslazione mi ritrovo: $x' = (x'' +a) ; y' = (y'' +b) ; z = (z' +c)$ giusto?
ok mi torna il tuo ragionamento. ci stavo provando ieri sera...
Mi viene questa situazione: $z^2 -2x'^2 + 2y'^2 - 2sqrt2x' +2sqrt2y' -1 =0$
A questo punto si deve applicare la traslazione giusto? Il problema è che da una parte ho la z, dall'altra ho x' e y', cioè sono incognite diverse no?
Se io vado ad applicare la traslazione mi ritrovo: $x' = (x'' +a) ; y' = (y'' +b) ; z = (z' +c)$ giusto?
grazie per la risposta quinzio, sto veramente impazzendo, ho trovato anche altri metodi su internet ma a 2 giorni dall'esame non vorrei confondere le idee ma soprattutto vorrei seguire il metodo del prof.
Cioè la situazione che mi si crea, dopo aver applicato la rotazione è la seguente: (ho rifatto ora i calcoli):
$-x'(sqrt2)/2 + y'(sqrt2)/2 + 2x'^2 + 2y'^2 + z^2 -1 = 0$
Vado a sostituire: $x' = (x'' + \alpha)$ $y' = (y'' + \beta)$ $z= (z' + \gamma)$
e dopo i calcoli mi trovo la seguente equazione:
$-x''(sqrt2)/2 - \alpha(sqrt2)/2 + y''(sqrt2)/2 + \beta(sqrt2)/2 + 2x''^2 + 2\alpha^2 + 4x''\alpha + 2y''^2 + 2\beta^2 +4y''\beta + z'^2 + z'\gamma + \gamma^2 -1 =0$
Normalmente raggruppo $y''(4\beta + (sqrt2)/2)$ e $x''(4\alpha -(sqrt2)/2)$ e trovo che $\alpha=sqrt2/8$ , $\beta=-sqrt2/8$
A questo sorge il problema di $\gamma$ in quanto non so come raggrupparla. Prendo in considerazione solo $z'\gamma$ ? e considero $\gamma = 0$ ?
$-x'(sqrt2)/2 + y'(sqrt2)/2 + 2x'^2 + 2y'^2 + z^2 -1 = 0$
Vado a sostituire: $x' = (x'' + \alpha)$ $y' = (y'' + \beta)$ $z= (z' + \gamma)$
e dopo i calcoli mi trovo la seguente equazione:
$-x''(sqrt2)/2 - \alpha(sqrt2)/2 + y''(sqrt2)/2 + \beta(sqrt2)/2 + 2x''^2 + 2\alpha^2 + 4x''\alpha + 2y''^2 + 2\beta^2 +4y''\beta + z'^2 + z'\gamma + \gamma^2 -1 =0$
Normalmente raggruppo $y''(4\beta + (sqrt2)/2)$ e $x''(4\alpha -(sqrt2)/2)$ e trovo che $\alpha=sqrt2/8$ , $\beta=-sqrt2/8$
A questo sorge il problema di $\gamma$ in quanto non so come raggrupparla. Prendo in considerazione solo $z'\gamma$ ? e considero $\gamma = 0$ ?
considerando $\gamma=0$ mi torna la seguente equazione: $2x''^2 + 2y''^2 + z'^2 - 5/4 =0 $.
è corretto? nonostante ci siano x'' , y'' e con invece z' ?
Poi controllando su wolframalpha viene fuori che è un iperboloide a 1 falda. Bene, l'equazione dell'iperboloide ad 1 falda è:
$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2 / c^2 = 1$ Con
$a^2 = D/A$
$b^2 = D/B$
$c^2 = -D/C$
Però la mia domanda è... per riconoscere e dire che è un iperboloide ad 1 falda, come faccio? l'unico metodo è calcolarmi il discriminante, la sua sottomatrice e le eventuali segnature?
è corretto? nonostante ci siano x'' , y'' e con invece z' ?
Poi controllando su wolframalpha viene fuori che è un iperboloide a 1 falda. Bene, l'equazione dell'iperboloide ad 1 falda è:
$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2 / c^2 = 1$ Con
$a^2 = D/A$
$b^2 = D/B$
$c^2 = -D/C$
Però la mia domanda è... per riconoscere e dire che è un iperboloide ad 1 falda, come faccio? l'unico metodo è calcolarmi il discriminante, la sua sottomatrice e le eventuali segnature?
Tra l'altro sorge un problema... la quadrica dell'esercizio wolframalpha la definisce un iperboloide a 1 falda. la quadrica che ho trovato io dopo la rotazione e la traslazione la definisce un ellissoide....
"l0r3nzo":
scusa per la lettera greca... non pensavo fosse importante
ok mi torna il tuo ragionamento. ci stavo provando ieri sera...
Mi viene questa situazione: $z^2 -2x'^2 + 2y'^2 - 2sqrt2x' +2sqrt2y' -1 =0$
A questo punto si deve applicare la traslazione giusto? Il problema è che da una parte ho la z, dall'altra ho x' e y', cioè sono incognite diverse no?
Se io vado ad applicare la traslazione mi ritrovo: $x' = (x'' +a) ; y' = (y'' +b) ; z = (z' +c)$ giusto?
Metti $z = z'$ è solo un nome. Non perderti in queste cosine qua.
Poi trasli gli assi certo....
Poi ti viene fuori... boh, un paraboloide iperbolico... ?? NON sono sicuro.
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