Rotazione circonferenza

[ride2]

salve ho il seguente quesito:
data la circonferenza di equazioni $\{(z=0),((x+1)^2+(y+1)^2=1):}$ determinare l'equazione della superficie ottenuta dalla sua rotazione attorno alla retta x=y=z

ho cominciato a considerare la circonferenza come intersezione fra piano e sfera di centro (-1,-1.0) e raggio 1, ma non riesco ad andare avanti. cioè non riesco a capire come ragionare...

[gio73]

ciao ride, hai provato a farti un'idea della superficie che ottieni?

[ride2]

"gio73":ciao ride, hai provato a farti un'idea della superficie che ottieni?

hum, è quello il problema. non sono sicuro di quello che viene fuori: cioè avevo pensato ad una superficie che sta su di un piano, quindi la circonferenza ruotando attorno alla retta andrebbe a formare una specie di grande cerchio. ma poi ho pensato che era una grande stupidaggine!

[gio73]

Ciao ride, non ho la risposta in tasca, potrei dire una stupidaggine enorme...
allora se l'oggetto ruota intorno ad un asse significa che ogni suo punto descrive una circonferenza con centro appartenente all'asse e raggio pari alla distanza dall'asse. Ora giacchè nessun punto del nostro oggetto tocca l'asse, quello che otterremo sarà un oggetto "bucato"... a me sembra di vedere un anello, un "toro"...

[apatriarca]

Il mio consiglio è quello di scrivere l'equazione della circonferenza in forma parametrica e poi applicare la rotazione intorno a quell'asse (personalmente la scriverei usando i quaternioni ma si può scrivere senza troppi problemi anche con le matrici).

EDIT: riguardando l'esercizio mi sono accorto che l'asse di rotazione non passa per il centro della circonferenza come ero convinto facesse. Per la prima parte rimane tutto invariato, per la seconda (che ho cancellato) no. In effetti dovrebbe essere una specie di toro un po' deformato e che forse ha autointersezioni.

[ride2]

"gio73":Ciao ride, non ho la risposta in tasca, potrei dire una stupidaggine enorme...
allora se l'oggetto ruota intorno ad un asse significa che ogni suo punto descrive una circonferenza con centro appartenente all'asse e raggio pari alla distanza dall'asse. Ora giacchè nessun punto del nostro oggetto tocca l'asse, quello che otterremo sarà un oggetto "bucato"... a me sembra di vedere un anello, un "toro"...

non saprei proprio, per avere un toro è necessario che la circonferenza e l'asse di rotazione giacciano sullo stesso piano se non sbaglio.. e la retta in questione non giace sul piano della circonferenza mi pare...

[gio73]

Ciao ride, ciao apatriarca,
allora ho ragionato cos, ditemi cosa ne pensate:
Ho una circonferenza che giace su un piano e una retta esterna (non tocca mai la circonferenza), mi immagino 3 casi:
1) la retta è complanare alla circonferenza allora dalla rotazione ottengo una ciambella perfetta (se taglio una fetta con un piano passante per l'asse di rotazione ottengo la circonferenza)
2) la retta è perpendicolare al piano che contiene la circonferenza allora dalla rotazione ottengo una corono circolare (se taglio una fetta con un piano passante per l'asse di rotazione ottengo un segmento lungo quanto il diametro della circonferenza di partenza)
3) l'asse di rotazione è incidente il piano che contiene la circonferenza ma non perpendicolare allora dalla rotazione ottengo una ciambella un po' deformata, schiacciata (se taglio una fetta con un piano passante per l'asse di rotazione ottengo una circonferenza un po' schiacciata, una ellissi)

[ride2]

"gio73":Ciao ride, ciao apatriarca,
allora ho ragionato cos, ditemi cosa ne pensate:
Ho una circonferenza che giace su un piano e una retta esterna (non tocca mai la circonferenza), mi immagino 3 casi:
1) la retta è complanare alla circonferenza allora dalla rotazione ottengo una ciambella perfetta (se taglio una fetta con un piano passante per l'asse di rotazione ottengo la circonferenza)
2) la retta è perpendicolare al piano che contiene la circonferenza allora dalla rotazione ottengo una corono circolare (se taglio una fetta con un piano passante per l'asse di rotazione ottengo un segmento lungo quanto il diametro della circonferenza di partenza)
3) l'asse di rotazione è incidente il piano che contiene la circonferenza ma non perpendicolare allora dalla rotazione ottengo una ciambella un po' deformata, schiacciata (se taglio una fetta con un piano passante per l'asse di rotazione ottengo una circonferenza un po' schiacciata, una ellissi)

all'incirca forse ero giunto ad una conclusione simile, molto più spartana però avevo pensato appunto che la rotazione orginasse questa specie di ciambella, dunque una specie di toro. e avevo pensato di tagliarlo con un piano perpendicolare all'asse così da considerare dei punti della circferenza ottenuta etcetc.. ma ragionando meglio e ricercando un pò sulla teoria, la rotazione dell'esercizio dovrebbe darmi una superficie di rotazione, mentre invece quest'ipotesi riguarda un solido di rotazione. potrebbe essere un dettaglio trascurabile, ma se non lo fosse bisognerebbe abbandonare l'idea del toro.. o sbaglio?

[apatriarca]

La soluzione è certamente qualcosa di simile ad un toro.. Però non credo che questa idea porti molto vicino alla soluzione. Credo proprio che ci siano da fare i calcoli opportuni con le equazioni della circonferenza e della rotazione intorno a quell'asse senza indugiare più di tanto in supposizioni. A meno di avere qualche idea su come calcolare l'equazione di una sezione del toro in modo particolarmente semplice.