Rotazione attorno ad una retta e matrice associata
ciao, ho un dubbio su un esercizio:
si condiseri la rotazione f di $ R^3$ avente come asse di rotazione la retta
$x-z=0$
$x+y-z=0$
e angolo di rotazione $pi/4$ Trovare la matrice F associata a f rispetto alle basi canoniche
vi spego come risove il mio libro :
trova l'asse della retta
$[(1),(0),(1)]$
poi con questo vettore trova il supplento ortogonale
con le basi
$[(1),(0),(1)]$ $[(1),(0),(-1)]$ $[(0),(1),(0)]$
ortonormalizza questi tre vettori trovando la base B : poi dice che $f(b1)=b1$ perchè la retta deve rimanere fissa, e $f(b2)= b2cos(pi/4)+b2sen(pi/4)$
$f(b3)=-b2senpi/4+b3cos(pi/4)$
io ho leto che queste sono le fomrule della rotazione quando l'angolo è $(-q) $ ,( in pratica una rotazione inversa ) invece qui l'angolo è $q$ , (con q indico un generico angolo)
ma questa rotazione avviene in senso orario o antiorario? grazie mille
si condiseri la rotazione f di $ R^3$ avente come asse di rotazione la retta
$x-z=0$
$x+y-z=0$
e angolo di rotazione $pi/4$ Trovare la matrice F associata a f rispetto alle basi canoniche
vi spego come risove il mio libro :
trova l'asse della retta
$[(1),(0),(1)]$
poi con questo vettore trova il supplento ortogonale
con le basi
$[(1),(0),(1)]$ $[(1),(0),(-1)]$ $[(0),(1),(0)]$
ortonormalizza questi tre vettori trovando la base B : poi dice che $f(b1)=b1$ perchè la retta deve rimanere fissa, e $f(b2)= b2cos(pi/4)+b2sen(pi/4)$
$f(b3)=-b2senpi/4+b3cos(pi/4)$
io ho leto che queste sono le fomrule della rotazione quando l'angolo è $(-q) $ ,( in pratica una rotazione inversa ) invece qui l'angolo è $q$ , (con q indico un generico angolo)
ma questa rotazione avviene in senso orario o antiorario? grazie mille
Risposte
Quando l'angolo è positivo la rotazione va intesa sempre in senso antiorario.
ma quindi è giusto come imposta il libro?
non dovrebbe essere poichè l'angolo è positivo un'equazione del tipo
$x'= cos (b) x - sen(b)y $
$y'= sen(b)x + cos(b)y $?
non dovrebbe essere poichè l'angolo è positivo un'equazione del tipo
$x'= cos (b) x - sen(b)y $
$y'= sen(b)x + cos(b)y $?
Tu e il libro dite la stessa cosa. Se in uno spazio vettoriale effettui un cambiamento di coordinate lineari
[tex]$\begin{cases}x'^1=a^1_1 x^1+\ldots a^1_n x^n \\ \vdots \\ x'^n=a^n_1 x^1+\ldots a^n_n x^n \end{cases}[/tex]
dove le coordinate [tex]x[/tex] sono relative alla base [tex]e_1 \ldots e_n[/tex] e le coordinate [tex]x'[/tex] sono relative alla base [tex]e'_1 \ldots e'_n[/tex], la matrice che realizza l'analoga trasformazione tra le basi è l'inversa di [tex]a=(a^i_j)[/tex]:
[tex]$\begin{cases}e'_1=b^1_1e_1+\ldots + b^n_1e_n\\ \vdots \\ e'_n=b^1_ne_1+\ldots+b^n_ne_n\end{cases}[/tex]
(qui [tex]b=a^{-1}[/tex]). E' una cosa che fa un po' confondere e che si riesce a gestire bene con il formalismo dell'algebra tensoriale.
[tex]$\begin{cases}x'^1=a^1_1 x^1+\ldots a^1_n x^n \\ \vdots \\ x'^n=a^n_1 x^1+\ldots a^n_n x^n \end{cases}[/tex]
dove le coordinate [tex]x[/tex] sono relative alla base [tex]e_1 \ldots e_n[/tex] e le coordinate [tex]x'[/tex] sono relative alla base [tex]e'_1 \ldots e'_n[/tex], la matrice che realizza l'analoga trasformazione tra le basi è l'inversa di [tex]a=(a^i_j)[/tex]:
[tex]$\begin{cases}e'_1=b^1_1e_1+\ldots + b^n_1e_n\\ \vdots \\ e'_n=b^1_ne_1+\ldots+b^n_ne_n\end{cases}[/tex]
(qui [tex]b=a^{-1}[/tex]). E' una cosa che fa un po' confondere e che si riesce a gestire bene con il formalismo dell'algebra tensoriale.
ciao, ma quindi scrivere
$f(b2)= b2cos(pi/4)+b3sen(pi/4)$
$f(b3)=-b2senpi/4+b3cos(pi/4)$
è uguale a scrvere
$f(b2)= b2cos(pi/4)-b3sen(pi/4)$
$f(b3)=b2senpi/4+b3cos(pi/4)$? grazie mille
$f(b2)= b2cos(pi/4)+b3sen(pi/4)$
$f(b3)=-b2senpi/4+b3cos(pi/4)$
è uguale a scrvere
$f(b2)= b2cos(pi/4)-b3sen(pi/4)$
$f(b3)=b2senpi/4+b3cos(pi/4)$? grazie mille
NO, è chiaro che sono cose diverse. Il fatto è che lì tu stai descrivendo una applicazione lineare, nell'equazione del tuo post precedente stai descrivendo delle equazioni di cambiamento di coordinate. Tu evidentemente sei abituat* a ragionare in termini di equazioni di cambiamento di coordinate: quando invece vuoi descrivere una applicazione lineare devi usare la matrice inversa.
Spero di essere stato almeno un po' chiaro, anche se ne dubito. Adesso purtroppo devo scappare, se hai ancora problemi ne riparliamo dopo.
Spero di essere stato almeno un po' chiaro, anche se ne dubito. Adesso purtroppo devo scappare, se hai ancora problemi ne riparliamo dopo.
grazie mille, ora ho capito meglio
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