Rivestimento Universale

[DeppeP]

Ciao a tutti ragazzi, qualcuno sa aiutarmi con l'esercizio:

"Sia p:E->B un rivestimento universale di B. Dimostare B essere semilocalmente semplicemente connesso."


Mi piacerebbe vedere l'esercizio svolto perchè la teoria delle classificazioni mi è un po' indigesta e raramente riesco ad attaccare per bene un problema

[j18eos]

Mai sentito di proprietà semilocali, inoltre, non è che ti stai riferendo ad \(E\)?

[DeppeP]

no no, proprio B! B si dice semilocalmente semplicemente conesso se ogni punto possiede un intorno per il quale ogni loop nello stesso sia nullhomotopic rispetto un cammino costante in B .

Su wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_sem ... one_locale

[apatriarca]

Ho fatto queste cose un sacco di tempo fa. La dimostrazione non mi sembrava molto complicata però (molto più semplice della parte successiva del teorema in cui si mostra che l'essere semilocalmente semplicemente connesso è una condizione anche necessaria e non solo sufficiente per avere un rivestimento universale).

Partirei dal cercare di dimostrare il teorema per assurdo. Supponi che esista un punto $P$ per cui ogni suo intorno ha loop che non siano omotopi al cammino costante in $B$ e cerca di comprendere che conseguenze possa avere questo sui suoi rivestimenti. Nota che è solo un'idea, non ricordo la dimostrazione corretta e non ho pensato abbastanza al problema per essere sicuro che questo metodo porti a qualcosa. Immagino sia però un possibile punto di partenza se non hai molte idee.